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Sistemas de representación : Incidencia (Intersecciones) [ Geometría descriptiva ]

intersección recta y planoLos problemas de incidencia tratan de determinar los elementos comunes a dos figuras geométricas; se pueden definir como casos especiales de pertenencia. Son independientes de la métrica del sistema de representación y se pueden resolver mediante modelos generalizables en todos ellos.

Partiendo de los elementos geométricos fundamentales recta y plano, podemos aplicar los conceptos de dualidad para analizar los posibles problemas que se pueden presentar.

  • Seccionar una recta por un plano es definir el punto que pertenece a ambos elementos
  • Seccionar una recta por otra recta es definir el punto que pertenece a ambos elementos
  • Seccionar un plano por otro plano es definir la recta que pertenece a ambos elementos
  • Seccionar un plano por una recta es definir el punto que pertenece a ambos elementos
En general estos problemas se resolverán mediante planos auxiliares que elegiremos convenientemente como se verá posteriormente.
Como conceptos generales de aplicación en los diferentes casos de determinación de intersecciones, podemos enunciar que:
  • La intersección de dos planos tiene la dirección común a ambos planos
  • Tres planos se cortan en un punto
  • Al seccionar a un plano por planos paralelos se determinan rectas paralelas entre sí.
  • Una recta y su proyección sobre un plano dado se cortan en el plano de proyección.

Intersección de recta y plano

Resolveremos en Sistema Diédrico este problema sin restar generalidad en el modelo de resolución. Los conceptos espaciales son idénticos, así como los trazados derivados.

El haz de planos de base una recta (r) secciona a un plano π según un haz de rectas de vértice el punto (I) de intersección de (r) y el plano π.

Intersección de recta y plano

Intersección de recta y plano

Para determinar la intersección de un plano (α) y una recta (r) se utiliza un plano (β) auxiliar que contenga a la recta. La intersección (i) entre los planos contiene al punto (I) buscado

El plano auxiliar se elegirá de forma que sea proyectante sobre el plano de proyección. Esto significa que contiene a la dirección de proyección y en consecuencia se representará como una línea recta. En diédrico además se cumplirá que, al ser la dirección de proyección normal al plano, el plano será perpendicular al de proyección.

Intersección de recta y plano

Intersección de recta y plano

Supongamos el siguiente ejemplo en el que se pretende obtener la intersección que produce una recta en un plano definido por dos rectas que se cortan.

ejemplo Intersección de recta y plano

Ejemplo: Intersección de recta y plano definido por dos rectas

  • Las rectas (r) y (s) pasan por el punto (P) y determinan un plano (α).
  • La recta (a) corta a dicho plano en el punto (I) que es el que queremos determinar en las proyecciones diédricas.

El plano (β) contiene a la recta (a) siendo proyectante sobre la proyección vertical, y su intersección con el plano (α) determina la recta i, (α∩β), que contiene al punto (I).

Resolucion Interseccion de recta y plano

Resolución : Intersección de recta y plano

Intersección de dos planos

Veamos primero un planteamiento espacial del problema que nos puede permitir reducir el problema al caso anterior de intersecciones.

Podemos realizar dos enfoques de este problema.

Intersección de dos planos

Análisis de la Intersección de dos planos

  • En primer lugar podemos utilizar dos planos auxiliares que seccionan a los planos alfa y beta en dos rectas cada uno. Estas rectas a su vez se cortan en dos punto (I1 e I2) que pertenecen a la intersección buscada.
  • El segundo enfoque consiste en elegir dos rectas de uno de los planos y determinar los puntos de intersección que producen en el otro plano, tal y como se ha visto en el ejemplo de intersección de recta y plano.

En ambos casos la utilización de planos auxiliares forma parte de la metodología de resolución.

Sistemas_de_representacion

Sistemas_de_representacion

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