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Transformaciones geométricas : Homografías Vs Correlaciones

transformacionesLas transformaciones geométricas pueden entenderse como el conjunto de las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada, así como las propiedades invariantes que se obtienen en ellas. La nueva figura se llamará “homóloga” o correlativa de la original dependiendo de la naturaleza de la transformación de sus elementos básicos.

Una homografía es una transformación que conserva la naturaleza de los elementos transformados.
  • Un punto se transforma en otro punto
  • Una recta se transforma en otra recta
  • Un plano se transforma en otro plano
Una correlación es una transformación que NO conserva la naturaleza de los elementos transformados.
  • Un punto se puede transformar en una recta o plano, pero no en otro punto
  • Una recta se puede transformar en un punto o plano, pero no en otra recta
  • Un plano se puede transformar en una recta o punto, pero no en otro plano

Homografia_Correlacion

En la figura anterior se esquematizan estos conceptos. Un determinado elemento, por ejemplo un punto, se transforma en otro elemento de igual naturaleza, punto, mediante una homografía, mientras que si realizamos una correlación su transformado podrá ser una recta o un plano pero nunca un punto.
Metodología de análisis de una transformación geométrica
Cuando estudiamos una transformación geométrica debemos analizar sistemáticamente una serie de apartados que nos darán un conocimiento suficiente de la misma.
  • Definición de la transformación
  • Transformación de elementos básicos
  • ¿Mantiene la forma? (es Semejante)
  • ¿Conserva los ángulos (es Conforme )?
  • ¿Es involutiva?
  • Propiedades
  • Aplicaciones principales
La definición de la transformación deberá incluir el análisis del número de parámetros o restricciones necesarios para su correcta determinación, Así, una traslación deberá definirse mediante una dirección y un módulo o valor para indicar la distancia entre dos puntos homólogos o transformados, pero también quedará definida mediante la determinación de un punto y el transformado. Vemos que la misma transformación puede determinarse por tanto con datos diferentes.
Analizaremos cómo obtener los transformados de cada uno de los elementos básicos: puntos, rectas, circunferencias …. ya que una figura geométrica se puede descomponer en dichos elementos para ser transformada.
Los invariantes o aspectos métricos y proyectivos que se mantienen en la transformación servirán para simplificar la utilización de las operaciones necesarias en la transformación, así como para determinar sus posibles aplicaciones en la resolución de problemas geométricos.
transformacion_angulos
En particular es de especial interés saber el comportamiento de las relaciones angulares; si una recta y su transformada son paralelas y si el ángulo que forman dos elementos se mantiene en la transformación (transformaciones conformes).
involucion
En particular en el caso de las homografías es interesante determinar si la transformación es involutiva, es decir, si al aplicar la transformación al transformado de un elemento se obtiene el elemento original. Por ejemplo una traslación no es involutiva, ya que al aplicar el movimiento al transformado de un punto se obtiene un punto diferente, mientras que una simetría si es involutiva. (No se debe confundir la involución con la transformación inversa).

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