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Geometría métrica : Generalización del concepto de “Potencia”

generalizacion concepto potenciaEl concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia se basa en el producto de la mayor por la menor de las distancias de un punto a una circunferencia.

Estos valores de la distancia se dan en la cuerda que contiene al centro de la circunferencia y al punto, es decir, en el diámetro que contiene a dicho punto.

¿Es posible generalizar este concepto para considerar otras cuerdas que pasen por el punto P?

La potencia W de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la mayor por la menor distancia del punto P a la circunferencia c.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Si consideramos dos rectas que pasan por un punto P y seccionan a una circunferencia c, los puntos de corte con dicha circunferencia (A, B, C y D) determinan dos triángulos semejantes:

  • PAD
  • PCB
Generalizacion del concepto de potencia

Generalizacion del concepto de potencia

En efecto, al aplicar los conceptos de arco capaz sobre un segmento, vemos que los ángulos en B y D deben ser iguales por ser inscritos en la circunferencia que pasa por los cuatro punto. Por otro lado los triángulos comparten el vértice P y por lo tanto su ángulo, y en consecuencia son semejantes.

Aplicando el teorema de Thales a los dos triángulos semejantes tendremos que:

PA/PD = PC/PB

y por lo tanto

PA * PB = PC * PD = Constante

Lo que demuestra que la potencia desde el punto P es independiente de la recta elegida, como queríamos demostrar.

Geometría métrica

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