Geometría métrica : Inversión en el plano

La inversión es una transformacion homográfica que conserva las relaciones angulares (es conforme).

Su principal aplicación en geometría es la determinación de problemas con condiciones angulares entre los que se encuentran la resolución de ejercicios con tangencias.

Se basa en los conceptos de potencia; es una transformación involutiva que puede tener elementos dobles en los casos de potencia positiva.

Definición de la transformación

La inversión es una transformación con centro. Esto significa que un punto y su transformado se encuentran alineados con el centro de inversión, de forma análoga a la transformación conocida como homotecia.

La relación entre las posiciones relativas de cada punto y su transformado respecto del centro de inversión se basan en el concepto de potencia.

Dado un centro “I“, y un par de puntos inversos “P” y “P’“, el producto de las distancias de estos puntos al centro de inversión es constante y se denomina potencia de inversión.

IP * IP’ = IQ * IQ’ = K*K =

Si la potencia de inversión es positiva, un punto y su transformado se encuentran al mismo lado respecto del centro de inversión. Los puntos que se encuentran a distancia K del centro son dobles. La circunferencia de radio la raíz de la potencia, valor K, es doble y de puntos dobles, denominándose circunferencia de autoinversión.

Dos puntos y sus inversos son concíclicos

Si la potencia es negativa el centro de inversión se encuentra entre cada punto y su transformado. La circunferencia de autoinversión es doble pero no de puntos dobles.

Inversión de elementos

Estudiaremos la inversión de puntos junto con cuatro posibles casos de transformación, dos para la recta y otros dos para la circunferencia, en los que el centro de inversión puede encontrarse en cualquier posición respecto del elemento geométrico o bien situado sobre él.

• Rectas que contienen al centro de inversión
• Rectas que no contienen al centro de inversión
• Circunferencias que contienen al centro de inversión
• Circunferencias que no contienen al centro de inversión

Inversión de Puntos

La inversión de puntos se puede resolver mediante construcciones de potencia o con los denominados teoremas del cateto y de la altura.

Inversión de potencia positiva

En este caso uno de los puntos es interior a la circunferencia de autoinversión y el otro exterior ( o son dobles y están sobre ella), pero al mismo lado respecto de I. Podemos aplicar el teorema del cateto haciendo uso de la circunferencia de autoinversión tal y como se aprecia en la figura.

Inversión positiva

Los conceptos de potencia nos permiten asegurar que dos puntos y sus inversos son concíclicos (están en una misma circunferencia que es doble en la inversión y corta ortogonalmente a la misma).

Inversión de potencia negativa

Una inversión negativa se puede obtener mediante una positiva de igual potencia (en módulo) mas una simetría central. Aplicando el teorema de la altura determinaremos pares de puntos inversos.

Inversión negativa

Los puntos diametrales de la circunferencia de autoinversión son inversos.

Inversión de rectas que contienen al centro de inversión

Este caso es el más sencillo ya que, por la definición de la transformación, el inverso de cada punto se encuentra alineado con este punto y con el centro de inversión y en consecuencia la inversa de la recta, si contiene al centro de inversión, es la propia recta.

Inversión de una recta

Inversión de rectas que no contienen al centro de inversión

Inversión de circunferencias que contienen al centro de inversión

Estos dos casos se pueden estudiar conjuntamente ya que la transformación es involutiva y, como veremos, la invesa de una recta que no contiene al centro de inversión es una circunferencia que lo contiene y viceversa.

Como dos puntos y sus inversos son concíclicos las rectas que unen dos puntos y la que unen sus inversos son antiparalelas de las rectas soportes que unen cada punto y su inverso (dos a dos forman el mismo ángulo). En la figura la recta PQ forma un ángulo alfa con la recta QQ’ idéntico al que forma la recta P’Q’ con PP’.

Antiparalelismo

Al invertir una circunferencia que pasa por el centro de inversión y un punto P, su inversa pasará por el transformado P’. Si invertimos otro punto Q en Q’ vemos que el ángulo en Q reflejado en la figura debe ser recto por ser inscrito en una semicircunferencia. En consecuencia el segmento P’Q’ debe formar un ángulo recto con la recta PP’ y está obligado a estar en la recta c’. Repitiendo esta operación para los infinitos puntos de la circunferencia obtendremos la recta c’

Inversión de recta en circunferencia

En consecuencia:

La inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa, de dirección perpendicular al diámetro que contiene al centro de inversión.

Como la transformación es involutiva:

La inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia con centro en la perpendicular desde el centro de inversión a dicha recta.

Inversión de circunferencias que no contienen al centro de inversión

Al estudiar la transformación mediante homotecia hemos visto que dos circunferencias coplanarias se pueden relacionar mediante dos centros diferentes. En la figura se ha representado el centro I que establece una homotecia de razón postiva en la que T y T’ son homólogos, igual que P y Q’ o bien Q y P’. La razón de homotecia es por tanto:

IT / IT’ = IP / IQ’ = IQ / IP’ = Kh

Por otro lado, la potencia del punto I respecto de la circunferencia c es:

W = IP * IQ

Dividiendo la potencia por la razón de homotecia:

W / Kh = IQ * IQ’ = cte

Vemos que las dos circunferencias son inversas con centro I y potencia W / Kh

Inversa de una circunferencia

Por lo tanto:

La inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia, siendo el centro de inversión el centro de homotecia que las relaciona.

Cuando el centro de homotecia es exterior a las circunferencias el valor de la potencia es positivo, por lo que el signo de la potencia de inversión se corresponde con el de los centros de homotecia. Sin embargo, si el centro de homotecia es interior a las circunferencias, el signo se invierte.

Cuando el centro de homotecia se encuentra en la circunferencia, al ser la potencia nula, no se puede considerar que sea de inversión.

Nótese que aunque los centros de las circunferencias son homólogos, no son inversos.

El inverso O’ del centro O de una circunferencia c que no pasa por el centro de inversión es el pie de la polar del centro de inversión respecto de la circunferencia inversa c’.

Conformidad de la transformación

Una transformación es conforme si el ángulo que forman dos elementos es el mismo que el que forman los elementos transformados. La inversión es una transformación conforme por lo que es de gran utilidad en la resolución de problemas con condiciones angulares.

El antiparalelismo entre las rectas que unen dos puntos y sus inversos, respecto de las que unen cada uno de ellos con su inverso es la base de la demostración.

Las rectas que unen cuatro puntos de una circunferencia, dos a dos son antiparalelas

Supongamos una curva c que pasa por dos punto P y Q. El segmento PQ es una cuerda de esta curva. En el límite, cuando hacemos coincidir los puntos P y Q, la cuerda se convierte en la tangente a la curva por lo que:

El ángulo que forma la tangente a una curva en un punto P con la recta que contiene al punto y su inverso, es el mismo que el que forma la tangente a la curva inversa.

Una curva y su inversa forman el mismo ángulo con la recta que une cada par de puntos inversos

Si aplicamos a dos curvas, al conservarse respectivamente el ángulo que forman sus tangentes concluimos que:

El ángulo que forman dos curvas es el mismo que el formado por sus curvas inversas, por lo que la inversión es una transformación conforme.

Conformidad en la inversion

La aplicación a la resolución de problemas puede hacerse de dos formas conceptualmente diferentes:

• Simplificando los datos del problema.
• Simplificando la solución buscada.

Veremos en una nueva entrada una discusión en profundidad sobre estos dos modelos de análisis, aplicándolos a un problema de angularidad.

Geometría métrica

Enlaces externos

• Inversión en el plano (W)
• Propiedades de la inversión (applet interactivo en gaussianos)