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Sistema Diédrico: Proyección de la recta

rectaDespués de ver los fundamentos del Sistema Diédrico, con la proyección de un punto sobre dos planos de proyección ortogonales, vamos a ver cómo se puede independizar el sistema de la línea de tierra en cuanto tenemos dos o más puntos.

Este sistema denominado “Sistema Libre” es más flexible que el tradicional debido a Monge, dando relevancia a las líneas de referencia y orientando el modelo hacia una geometría espacial más conceptual; el modelo se basa en entender la aplicación de las relaciones pitagóricas y proyectivas elementales, evitando relaciones constructivistas.

Gaspard Monge (9 de mayo de 17461 – 28 de julio de 1818) fue un matemático francés, inventor de la geometría descriptiva. (W)

Proyectando_la_rectaLa proyección de una recta se reduce a la de dos de sus puntos. En la figura se han obtenido las proyecciones de los puntos P y Q tal y como hemos visto anteriormente.

A continuación, siguiendo el modelo expuesto, se ha abatido el plano horizontal sobre el plano vertical para determinar la proyección diédrica de estos puntos y en consecuencia la de la recta que los contiene.

Aunque inicialmente se han utilizado planos concretos para realizar las proyecciones, veremos que podemos independizar el resultado de la posición de estos por lo que dejará de tener sentido el concepto de línea de tierra.

Ünicamente nos interesará para obtener la representación la dirección de los planos de proyección, y no su posición concreta en el espacio.

planos abatidosVeamos la proyección de la recta en el sistema diédrico convencional primero y quitemos la línea de tierra posteriormente.

De nuevo observamos al abatir los planos, con eje de abatimiento la intersección del plano horizontal con el vertical, recta i, que los puntos proyectados en ambas proyecciones se relacinan entre sí mediante una perspectividad.

Las proyecciones de cada punto se encuentran en líneas de referencias que son perpendiculares a esta recta intersección (línea de tierra). Es decir, la línea Q’-Q” y la P’-P” son perpendiculares a i.

planos_paralelosSi proyectamos sobre planos paralelos, por ejemplo en dos planos horizontales, las proyecciones son idénticas.

La distancia absoluta de los puntos a sus proyecciones, por ejemplo (P)-P’ dependerá del plano concreto que se use para la proyección pero la diferencia de distancias obtenidas entre dos puntos de una recta (distancia relativa) se mantendrá invariable.

En la figura esta distancia es el valor etiquetado como “z” y es la diferencia entre la distancia (P)-P’ y (Q)-Q’, distancias absolutas de los extremos de la recta (segmento) al plano de proyección (independientemente de cuál de los dos planos de la figura sea el empleado para la proyección).

Al abatir el plano horizontal tendremos las proyecciones diédricas de nuevo. En la imagen se ha representado la diferencia de cotas ( valor z)

Cota_relativa_LT

Si eliminamos la línea de tierra no perdemos información sobre la forma del objeto, obteniendo una representación más simplificada.

cota_relativa

proyeccion_recta

En efecto, la información suministrada nos permite restituir la recta en el espacio.

Para obtener la verdadera magnitud del segmento únicamente deberemos construir un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es la magnitud buscada. Los dos catetos necesarios son, como puede apreciarse en la figura, la diferencia de cotas, z, y la proyección sobre el plano, r’.

Las tres coordenadas relativas se obtendrán según la dirección de los ejes coordenados del triedro. En la proyección serán:

coordenadas

Con estas coordenadas relativas vemos que podemos restituir las coordenadas de la recta sin necesidad de la línea de tierra. Veremos más adelante algunos ejemplos ilustrativos.

 

Sistemas_de_representacion

Sistemas_de_representacion

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