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Geometría métrica: Curvas : Cónicas

conicaEntre las curvas más importantes que se estudian en geometría se encuentran las denominadas “Curvas cónicas”.

Estas curvas pueden analizarse bajo diferentes enfoques conceptuales, desde el punto de vista de su concepción espacial, métrica, proyectiva, analítica …. en lo que viene denominándose las “definiciones de las curvas cónicas”.

Otra denominación común para estas curvas es la de “Secciones cónicas” debido a que la primera definición que se dio de ellas, por Apolonio de Perge, fue a partir de las secciones en un cono de revolución. Esta primera definición, basada en un modelo espacial, se conoce como la “primera definición de las cónicas”.

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano.

Sección de un cono por un plano

Podemos ver esta misma figura en una representación en la que el plano que produce la sección se encuentra perpendicular al plano del dibujo. En esta representación vemos que existen dos ángulos que caracterizan al cono y a la dirección del plano respecto del eje “e” del mismo:

  • Alfa: semiángulo en el vértice “V” del cono.Determina el ángulo que forman las generatrices del cono con el eje “e”
  • Beta: ángulo que forma el plano con el eje “e” del cono

Origen de las cónicas

Según la posición del plano respecto de la superficie cónica, este cortará a todas las generatrices, atodas menos a una o a todas menos a dos de ellas, determinando curvas con todos sus puntos propios, con un punto en el infinito o con dos puntos impropios (en el infinito) respectivamente.

En función de los ángulos alfa y beta nos encontramos con los siguientes casos:

  • alfa < beta Si el semiángulo en el vértice es menor que el ángulo que forma el plano con el eje, la curva es una elipse. Como caso particular si el plano es perpendicular al eje la curva es una circunferencia.
  • alfa = beta Si los ángulos son iguales la cónica generada es una parábola
  • alfa > beta Si el semiángulo es mayor que el formado entre el plano y el eje, la curva es una hipérbola.

Cónicas

Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.(W)

Veremos en detalle cada una de estas curvas al presentar nuevas definiciones basadas en propiedades métricas o proyectivas.

Geometría métrica

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