PIZiadas gráficas

PIZiadas gráficas

Mi mundo es la imagen.

Geometría proyectiva: Circunferencia como serie de segundo orden

circunferenciaUna circunferencia es una cónica cuyos ejes tienen igual longitud, de ahí que podamos decir que el valor de su excentricidad es nula (excentricidad=0).

En matemática y geometría la excentricidad, ε (épsilon) es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia.(W)

Podemos tratar la circunferencia como una serie de segundo orden, obtenida por la intersección de rayos homólogos de dos haces congruentes (iguales pero girados.)

Este tratamiento será de gran utilidad para usarla como herramienta proyectiva y resolver la determinación de elementos dobles en series superpuestas y haces concéntricos.

Al proyectar desde cualquier par de puntos V1 y V2 de una circunferencia los puntos de la misma, se obtienen dos haces congruentes, y por lo tanto proyectivos. Podemos comprobar, mediante los conceptos de arco capaz, que los ángulos en V1 y V2 determinados al proyectar dos puntos (A y B por ejemplo), son iguales ya que observan al mismo segmento desde un punto de la circunferencia.

circunferencia_proyectiva

El segmento AB se observa desde cualquier punto de la circunferencia bajo un mismo ángulo. Igualmente el resto de segmentos BC, CD… con valores distíntos del ángulo pero idénticos para todos los puntos de la circunferencia. Por ello, los haces de vértices V1 y V2 son congruentes al ser iguales los respectivos ángulos entre rectas homólogas

Si determinamos la cuaterna de rayos (a1 b1 c1 d1) debe ser idéntica a (a2 b2 c2 d2) por ser iguales los respectivos ángulos. La razón doble entre cuatro rectas homólogas se conserva, por lo que son proyectivos dichos haces.

Definiremos la razón doble de los puntos de una serie de segundo orden como la que determina cualquier haz que los proyecte desde la base de la serie

Conservación de la razón

Esta definición nos permitirá transformar series de primer orden en series de segundo orden sobre una circunferencia auxiliar, simplificando la determinación de elementos homólogos en series superpuestas, así como la obtención de los correspondientes puntos dobles.

Centro proyectivo

Podemos determinar el centro proyectivo de dos haces, con vértices sobre la circunferencia, que proyecten sus puntos.

El centro proyectivo de dos haces (congruentes) se encuentra en la intersección de las tangentes en los vértices V1 y V2 a la circunferencia determinada por los puntos A, B, C… ( que a su vez son los puntos de intersección de cada par de rectas homólogas)

Centro_proyectivo_circunferencia

 

Relación entre series de primer y segundo orden

Se pueden relacionar los elementos de una serie (ABC…) de primer orden y una serie de segundo orden mediante una proyección desde cualquier punto V de una circunferencia auxiliar. A cada punto de la serie de primer orden le asociaremos uno en la circunferencia, resultado de obtener la sección al rayo que lo proyecta desde el vértice. La razón doble de cuatro puntos de la serie rectilínea valdrá lo mismo que la de sus respectivo elementos homólogos en la serie circular.

Al punto impropio (del infinito) de la serie rectilínea le corresponderá igualmente un punto (L2) en la serie de segundo orden.

circunferencia_series_segundo_primer_orden

De nuevo, la razón doble se mantiene

razon_doble_iguales

 

Geometría Proyectiva

Related Posts