Geometría proyectiva: Eje proyectivo de dos series proyectivas

Los conceptos abstractos que se estudian en los modelos de la geometría proyectiva se deben traducir posteriormente en un conjunto de operaciones para manipular este tipo de transformaciones. La operatividad en las relaciones perspectivas se reduce a los conceptos de pertenencia, por lo que vamos a utilizar estas técnicas para adaptarlas a los modelos proyectivos simplificando la obtención de elementos homólogos.

El “mundo” de los puntos es más asequible didácticamente que el dual de las rectas, por lo que iniciaremos el análisis con los conceptos asociados a las series rectilineas para, posteriormente, realizar el mismo desarrollo en las formas duales, haces de rectas.

Podemos plantearnos en este estudio una serie de interrogantes básicos que servirán para guiar el desarrollo:

• ¿Cómo podemos definir dos series proyectivas?
• ¿Cuántos elementos homólogos son necesarios para determinar una proyectividad
• ¿Cómo podemos obtener elementos homólogos de otros dados?

Dos series proyectivas quedan determinadas al definir tres parejas de puntos homólogos (A-A’, B-B’, C-C’), situados sobre sus respectivas bases.

A un cuarto elemento X de la serie de base “a” le corresponderá un nuevo punto X’ de la serie homóloga (proyectiva) de base “a'” de forma que se conserve la razón doble de las cuaternas que determinan:

(ABCX) = (A’B’C’X’)

Para determinar el elemento homólogo de X operaremos usando perspectividades intermedias entre haces que relacionen (proyecten) los elementos de ambas series.

Al estudiar la perspectividad vimos que dos haces perspectivos (con eje perspectivo una serie sección común), tienen un rayo doble que es el que contiene a las bases (vértices) de los haces.

En la figura el rayo doble es el d=d’ que contiene a los vértices V y V’ de los haces perspectivos con eje perspectivo la recta e.

Esta propiedad es fundamental para conseguir encontrar haces perspectivos que relacionen las dos series proyectivas cuyo tratamiento pretendemos simplificar, como veremos a continuación.

Dadas dos series proyectivas de bases a y a’, procederemos a proyectarlas desde dos puntos V y V’ determinando haces que son perspectivos con dichas series. Entre los infinitos pares de vértices que podemos utilizar para proyectar estas series, elegiremos dos que se encuentren en cualquier punto de una recta que contenga a dos elementos homólogos de las series. La recta d=d’ contiene al par D-D’ de estas series.

Estos haces de rectas de vértices V y V’ son perspectivos entre si al ser doble la recta d=d’

La recta e es el eje perspectivo de los haces de vértices V y V’ que proyectan los puntos de las series. Al variar cualquiera de los vértices de los haces (V o V’) sobre la recta d-d’, estos haces seguiran siendo perspectivos (al tener una recta doble) pero el eje perspectivo cambiará de posición. Aunque el eje cambie, la construcción para la determinación de elementos homólogas seguirá siendo igualmente válida.

Eje proyectivo

Al usar dos puntos homólogos como bases de los haces V y V’, estos son perspectivos al tener un elemento doble. Estamos en el caso anterior ya que los vértices se encuentran situados sobre una recta que contiene a dos elementos homólogos, pero en este caso el eje perspectivo de los haces es único y no depende de la pareja de puntos elegidos para generar los haces perspectivos. Si proyectamos por lo tanto desde A-A’ o B-B’ … el eje perspectivo es el mismo y lo llamaremos “eje proyectivo de las series“

La recta e es el eje perspectivo de los haces de bases V y V’, siendo a su vez el eje proyectivo de las series de bases a y a’

Los puntos M=N’ de intersección de las dos bases tienen por homólogos los de intersección del eje con las correspondientes bases. En el caso de bases paralelas se convertirán a su vez en los puntos límites de las series.

Veremos más adelante cómo utilizar el eje proyectivo para determinar pares de elementos homólogos de las series.

Geometría Proyectiva