Geometría proyectiva: Perspectividad

Los fundamentos proyectivos se basan en las definiciones de “ternas ordenadas de elementos“ y “cuaternas que permiten establecer el concepto de razón doble“, y las relaciones denominadas “perspectivas” entre elementos de igual o distinta naturaleza.

Estas relaciones perspectivas, que serán usadas en la determinación de proyecciones en los sistemas de representación, se definen a partir de dos operadores proyectivos:

Proyección
Sección

Proyectar desde un vértice V una serie rectilínea s, formada por un conjunto de puntos alineados A, B, C …. es obtener el haz de rectas a, b, c … de vértice en centro de proyección V.

Seccionar por una recta s un haz de rectas concurrentes a, b, c …de vértice V, es obtener la serie rectilínea de puntos alineados A, B, C ….con base la recta s.

Si tomamos cuatro elementos de estas formas geométricas (serie rectilínea y haz de rectas) podemos determinar cuaternas de elementos que tendrán un valor concreto de su característica, tal y como hemos definido al estudiar las cuaternas ordenadas de elementos. Este valor, como veremos, es el mismo en el caso de las cuaternas de rectas y las de puntos si unas son proyección o sección de las otras. Es decir:

(abcd) = (ABCD)

La razón doble de cuatro rectas de un mismo haz, es la de los puntos obtenidos como sección por una recta cualquiera que no contenga al vértice del haz.

De forma análoga tendremos el teorema dual:

La razón doble de cuatro puntos de una misma serie, es la de las rectas obtenidas como proyección desde un punto cualquiera que no contenga a la base de la serie.

Diremos que la recta y el haz son perspectivos si uno es sección o proyección del otro.

Vemos por lo tanto una primera definición del concepto de perspectividad entre formas de la misma categoría pero de diferente naturaleza (rectas Vs puntos).

¿Podemos establecer un concepto perspectivo similar entre dos haces o dos series?

Perspectividad entre haces de rectas.

Podemos dar diferentes definiciones del concepto de perspectividad entre dos haces de rectas coplanarias.

Dos haces de rectas de vértices diferentes, V y V‘, son perspectivos entre sí, cuando se pueden obtener como proyección de una serie común.

e: eje perspectivo

Al proyectar desde los vértices V y V’ los puntos (ABC…) de una serie se obtienen dos haces perspectivos que tienen un rayo común ( d = d’), de forma que se cumple que las cuaternas de elementos relacionados son idénticas:

(abcd) = (ABCD) = (a’b’c’d’)

Los haces de vértices V y V’ son perspectivos con eje perspectivo la recta e soporte (base) de la serie que se proyecta.
Cada recta del haz de vértice V y su homóloga del haz de vértice V’ se cortan en dicho eje.
El elemento d=d’ que contiene a las bases V y V’ de los haces, es un elemento doble

Perspectividad entre series de puntos.

Como en todo teorema que podamos establecer en la geometría proyectiva, podemos obtener uno dual cambiando los elemento que lo determinan. Así, en el caso de las series de puntos encontraremos una definición de perspectividad similar a la dada para los haces de rectas:

Dos series de puntos de bases diferentes, s y s‘, son perspectivas entre sí, cuando se pueden obtener como sección de un mismo haz.

V: centro perspectivo

Al seccionar por las rectas r y r’ los rayos (abc…) de un haz se obtienen dos series perspectivas que tienen un punto común ( D = D’), de forma que se cumple que las cuaternas de elementos relacionados son idénticas:

(ABCD) = (abcd) = (A’B’C’D’)

Las series de bases r y r’ son perspectivas con centro perspectivo el punto V soporte (vértice) del haz que las secciona.
Cada punto de la serie de base r y su homóloga de la serie de base r’ proyectan dicho centro.
El elemento D=D’ que contiene a las bases r y r’ de las series, es un elemento doble

Dualidad en el plano

Vemos por lo tanto que existe una dualidad entre las propiedades y teoremas que vinculan a los punto y las rectas del plano, pudiéndose obtener unos de otros al cambiar las palabras punto y plano en los enunciados, y las operaciones de proyección por las de sección.

Como resumen de lo anterior, podemos presentar un simple diagrama que simplificará lo expuesto. Veremos más adelante la importancia de las relaciones perspectivas para entender las proyectivas.