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Geometría proyectiva: Involución en series superpuestas de segundo orden : Eje de Involución

involucion_segundo_ordenLas transformaciones involutivas son aplicaciones biyectivas de gran interés para ser utilizadas en construcciones geométricas, ya que las simplifican notablemente.

Veremos cómo se define una involución en series de segundo orden, con base una cónica, comparándo el nuevo modelo de transformación proyectiva con el estudiado en las denominadas series superpuestas de segundo orden .

Recordaremos que al determinar la proyectividad entre dos series de segundo orden superpuestas (con base una cónica común) partíamos de tres puntos, A, B y C, y sus correspondientes homólogos: A’, B’ y C’.

Al proyectar desde dos puntos homólogos los elementos de la otraserie obteníamos haces perspectivos cuyo eje perspectivo era el eje proyectivo de las series, denominado “Recta de Pascal”.

Recta de Pascal

Para definir una involución enseries de segundo orden deberemos relacionar dos parejas de puntos nada más. En la figura la involución queda determinada por los pares de elementos homólogos A-A’ y B-B’

Involucion_segundo_orden

Esto no significa que estemos determinando una cónica por cuatro puntos, sino que, dada una cónica cualquiera, si cogemos cuatro de sus puntos podemos determinar una involución de puntos. De forma análoga, en el caso anterior de series superpuestas, no estábamos definiendo la cónica por seis puntos, simplemente los relacionábamos proyectivamente.

Al indicarnos que los puntos A-A’ y B-B’ están en involución, nos están diciendo que existe una doble correspondencia entre ellos de forma que, si consideramos que sobre B’ hay un punto del otro sistema que podemos denominar “C”, su transformado C’ se encontrará en la misma posición que el punto B.

involucion_doble_correspondencia

Podríamos repetir esta idea con el punto A, aunque no es necesario ya que hemos convertido el problema de determinar los elementos de la proyectividad en el caso conocido, mencionado al principio, de series superpuestas de segundo orden.

Podemos determinar por lo tanto el eje proyectivo como en el caso anterior, proyectando desde un punto A y su homólogo A’ los puntos B’-C’ y B-C para determinar dos haces perspectivos. Este eje proyectivo se denominará “Eje de Involución

eje de involucion

Eje de Involución

Esta recta será de gran utilidad para operar con la cónica.

Podemos plantearnos algún problema de aplicación inmediato, como puede ser obtener un nuevo punto, o bien el transformado del quinto punto que completa la definición de la cónica.

Obtener el homólogo del punto “X” en la involución definida por las parejas de puntos homólogos A-A’, B-B’

En la figura se ha representado el eje de involución que hemos calculado previamente, eliminando los trazados para simplificar la imagen

Uso_eje_involucionOperaremos como en el caso de series superpuestas de segundo orden, proyectando el punto desde V’=A y encontrando el rayo homólogo del haz perspectivo que se cortará en el eje proyectivo (punto J) y tendrá por vértice V=A’.

Obtencion_homologo_involucionEl punto buscado se encontrará por lo tanto en la recta A-J. Deberemos repetir esta operación, proyectando desde B y B’ para localizar una nueva recta en la que se encuentre el punto buscado (Intersección de dos lugares geométricos).

Nótese que aunque hemos representado la cónica para facilitar la interpretación de la geometría que estamos analizando, ésta curva no está disponible en nuestros trazados

Hemos determinado el “Eje de Involución” y lo hemos utilizado para determinar elementos homólogos en la transformación proyectiva que lo ha definido. Veremos nuevas propiedades y su uso en la determinación de los elementos principales de la cónica, centro, diámetros, ejes, al ir avanzando en el estudio asociado a esta interesante transformación.

Geometría Proyectiva

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