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Geometría proyectiva: Obtención de los ejes de una cónica a partir de dos parejas de Diámetros Polares Conjugados

Los ejes de una cónica son aquellos diámetros polares conjugados que son ortogonales entre si.

Recordaremos que dos diámetros polares conjugados, que pasarán necesariamente por el centro O de la cónica, son las polares de dos puntos impropios (situados en el infinito) que sean conjugados, es decir, que la polar de cada uno de esos puntos contiene al otro.

Estas parejas de elementos determinan una involución de diámetros (polares) conjugados que quedará definida cuando conozcamos dos parejas de rayos y sus correspondientes homólogos.

Supongamos que de una cónica se conocen, entre otros posibles elementos, dos parejas de diámetros y sus conjugados, por ejemplo a-a’ y b-b’.

El objetivo es encontrar la pareja de rectas homólogas que sean ortogonales entre sí. Para ello seccionaremos por una circunferencia que contenga al vértice del haz de rectas obteniendo una serie de segundo orden en involución que es proyectiva del haz de rectas. En esta serie de segundo orden podemos determinar el centro de involución I, ya que cada par de puntos homólogos en la involución estarán alineados con este punto.

Si quisiéramos obtener el elemento homólogo de cualquier punto de esta serie, su homólogo se encontrará sobre la circunferencia alineado con I. En particular si queremos encontrar dos rayos homólogos que sean ortogonales deberán cortar a la circunferencia en puntos de un diámetro (para la ortogonalidad) que contenga al centro de involución (para asegurar que son homólogos en la involución)

Esto nos permite obtener los ejes de la cónica en dirección, aunque faltará aún determinar la magnitud de los mismos.

Geometría Proyectiva

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