Apolonio y sus diez problemas

Uno de los artículos más completos que han escrito mis alumnos en las clases de geometría es el que describe la forma de solucionar los denominados “problemas de Apolonio”.

La determinación de circunferencias o rectas que vengan definidas mediante restricciones geométricas basadas en las tangencias constituyen una familia de problemas geométricos de gran interés.

El grupo “AG-Nosotros no somos catetos” nos introduce con acierto y rigurosidad en este problema. Publicado inicialmente aquí, perteneciente a los grupos de la experiencia de “Blogs experimentales”, transcribo el artículo literalmente, añadiendo algunos enlaces en el texto que lo complementan. Gracias Diego, Alicia, Clara, Sara Y Sergio

Apolonio y sus diez problemas

Biografía:

Antes de desarrollar las teorias y problema de Apolonio vamos a exponer una breve biografía de Apolonio.

Apolonio era un matemático griego nacido en Perge(262 a.C.- 190 a.C.),fue discípulo de Arquímedes. Tampoco se sabe sobre su vida excepto por las introducciones que hacía en algunos de sus tratados de los que se compone su gran obra “Las cónicas” en el que se utilizan por primera vez los términos: “elipse, parábola e hipérbola“. También descúbrió y describió los “Epiciclos” con los que Ptolomeo utilizaria para explicar el movimiento de los planetas. Según los historiadores Apolonio tenía un carácter irascible lo que le hacía de un trato difícil.

Entre las obras geométricas de Apolonio de Perga destacan “Los Lugares Planos” donde se desarrollan las operaciones más importantes que hay que conocer en el trazado geométrico con un lenguaje moderno y cercano a la geometría analítica como: la homotecia, la traslación, la inversión, la rotación y la semejanza.

Una de las principales aportaciones de Apolonio a la geometría es la propuesta sistémica de los problemas de tangencias, que se resumen en el siguiente enunciado:

“Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia tangente a las tres”.

Los diferentes problemas de tangencias que se derivan de permutar estos elementos dan lugar a los conocidos casos de estudio de la geometría clásica, con las diferentes propuestas de solución que se han ido elaborando a lo largo de la historia.

Se destacan 10 casos:

• tres puntos,
• tres rectas,
• dos puntos y una recta,
• dos rectas y un punto,
• dos puntos y una circunferencia,
• dos circunferencias y un punto,
• dos rectas y una circunferencia,
• dos circunferencias y una recta,
• un punto, una recta y una circunferencia
• tres circunferencias.

Otra de las aportaciones fundamentales de Apolonio, son Las Cónicas.

Las secciones cónicas ya eran conocidas cuando Apolonio realizo el estudio de estas, pero su tratado deja atrás al resto de teorías. Anteriormente a Apolonio se creía que la hipérbola, la parábola, y la elipse se obtenían de secciones de conos diferentes de acuerdo con el ángulo del vértice.

Así, Apolonio demostró que estas curvas pueden obtenerse de las secciones de un mismo cono, variando la inclinación del plano que corta a este. Además de certificar que el cono no tiene porque ser un cono recto, puede ser circular, escaleno u oblicuo.

Ademas las curvas cónicas tienen propiedades interesantes.

Una de las mas importantes que descubrió Apolonio son las propiedades de reflexión.

Reflexión de la parábola: si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.

Cuenta la leyenda que Arquímedes, contemporáneo de Apolonio, empleo esta propiedad para defender Siracusa de los romanos quemando las naves de éstos. Para ello, fabricó un sistema de espejos parabólicos que consiguieron concentrar los rayos solares en las naves romanas.

Hoy en día dicha propiedad tiene diversas utilidades como pueden ser: los sistemas de radar, las antenas de televisión o los espejos solares, entre otros.

Reflexión de la elipse: si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco.

Es decir, si un rayo parte de uno de los focos, al reflejarse en la elipse el rayo seguirá una trayectoria que pasara por el otro foco.

Basándonos en esta propiedad, podemos comprobar que si tenemos una mesa de billar con forma de elipse, y lanzamos la bola desde uno de sus focos, con cualquier dirección, esta rebotara con la mesa de juego y pasara por el otro foco.

Si la bola continuase rebotando volvería a pasar por el primer foco, y así sucesivamente, hasta que llagase un momento en el que la trayectoria de la bola se confundiría con el semieje mayor de la elipse.

Si en vez de esto lanzamos la bola desde cualquier otro punto que no fuese uno de los focos ni uno de la linea que los une, los segmentos de la trayectoria de la bola describirían la figura de otra elipse.

Y en cambio, si el punto de partida de la bola fuera un punto de la linea que une los focos, esta trazara la envolvente de una hipérbola con los mismos focos.

Es curiosa la construcción de habitaciones con techos elípticos. Al emitir un sonido desde uno de los focos, este se escuchará con total nitidez desde el otro foco. Además el sonido tardará el mismo tiempo en transmitirse de un foco al otro sea cual sea la dirección que tomemos para emitirlo. Este efecto también permite la insonorización de habitaciones.

Reflexión de la hipérbola: los rayos que provienen de uno de los focos de una hipérbola se reflejan de manera que los rayos reflejados parecen provenir del otro foco.

Esta propiedad ha sido utilizada para la creación del LORAN, que es un dispositivo de navegación hiperbólica radioeléctrico que se ha empleado y se sigue empleando, claro que en menor medida debido a la aparición del GPS y otros sistemas, para fijar la posición de barcos y aviones.

Se fundamenta en el calculo de la diferencia de tiempo con que se obtienen en un receptor las señales que se originan en las dos estaciones emisoras localizadas en la superficie terrestre.

Como el posicionamiento se realiza en dos dimensiones, si se sabe la diferencia de las distancias a las dos estaciones se puede localizar el lugar geométrico de los puntos, en que se puede encontrar el barco o el avión, que es una hipérbola cuyos focos son las estaciones.

Conociendo la intersección de dos o más hipérbolas es posible definir la posición del avión o barco.

LOS DIEZ PROBLEMAS DE APOLONIO

A continuación vamos a tratar los 10 problemas fundamentales de Apolonio, los cuales están basados en las tangencias entre rectas y circunferencias.

Vamos a empezar hablando por su problema principal, a partir del cual se resuelven todos los demás casos, es decir todos deben reducirse en definitiva a una circunferencia que sea tangente a otra y que pase por dos puntos. Aunque su problema más difícil es hacer una circunferencia tangente a otras tres.

Primer y segundo problema

Anteriormente a este problema hay que son sencillos de realizar, los cuales son: trazar la circunferencia que pasa portres puntos(PPP) y trazar la circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta(PPR). Son mostrados a continuación:

Circunferencia que pasa por tres puntos.

Circunferencia tangente a una recta y pasa por dos puntos

Tercer problema

Ahora vamos a centrarnos en el caso de una circunferencia tangente a otra y que pase por dos puntos. Los pasos para resolverlo son los siguientes.

1. Hallamos la mediatriz del segmento que une a los puntos dados, en ella deberán estar los centros de las circunferencias que buscamos.
2. La recta que une los puntos sabemos que será el eje radical de todas las circunferencias que buscamos.
3. A continuación dibujamos una circunferencia auxiliar que pase por los puntos y que corte a la circunferencia dada y dibujamos una recta que una los puntos de intersección de las dos circunferencias. En la intersección de esta recta con la recta que unía los dos puntos (eje radical) encontramos el centro radical.
4. Hallamos las tangentes desde el centro radical a la circunferencia dada, esos puntos de tangencia también serán de las circunferencias que estamos buscando.
5. Por último unimos los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia y donde corte a la mediatriz de los puntos dados obtendremos los centros de las circunferencias solución.

Cuarto problema

Vamos a continuar con el caso de una circunferencia tangente a tres rectas, en este caso habrá cuatro soluciones posibles, como se mostrará a continuación con la imagen.

El Procedimiento es sencillo:
-Como debemos saber el centro de las circunferencias deberá encontrarse en las bisectrices interiores y exteriores que forman las tres rectas. Produciéndose las circunferencias buscadas en las intersecciones de estas rectas.

Quinto problema

El siguiente caso a explicar a a ser una circunferencia tangente a dos rectas y la cual pasa por un punto.

Dentro de este caso deberemos de hablar de varias posibilidades:

1- Si las rectas se cortan y el punto se encuentra entre ellas:

En este primer caso lo que haremos será hllar la bisectriz del ángulo que forman y hallar el homólogo del punto dado, con lo cual el problema queda reducido a una circunferencia tangente a una recta y que pasa por dos puntos

( explicado anteriormente).

2-: Puede ocurrir que el punto dado pertenezca a una de las rectas dadas:

En este segundo caso lo que hacemos es trazar las bisectrices de los dos áangulos que forman las dos rectas y por el punto dado trazamos una perpendicular a la recta que lo contiene la cual cortará alas bisectrices en los puntos buscados, es decir los centros de las circunferencias.

3: Por último hablaremos de la posibilidad de que las dos rectas dadas sean paralelas.

El punto A sabemos que se encuentra comprendido entre ambas rectas, por lo que trazamos una circunferencia con centro A y diámetro igual a la distancia entre las rectas. De esta forma obtenemos los centros de las dos soluciones en la intersección con la paralela media. El punto también puede encontarse en una recta dada como es el caso del punto B , por lo que hallamos el centro de la circunferencia solución como intersección de la paralela media y la perpendicular a cualquiera de las dos rectas paralelas por dicho punto B.
Se muestra a continuación:

Sexto problema

Este problema esta basado en hacer una circunferencia tangente a otras dos y que a la vez pase por un punto..Tendremos cuatro soluciones posibles.

Consideramos el punto que nos dan como centro de inversión y tomando una de las dos circunferencias, como circunferencia de autoinversión, a continuación trazamos la circunferncia de puntos dobles.Y posteriormente hallamos la circunferenica de inversión.las rectas tangentes a las circuanferencias dadas son figuras inversas de las circunferencias solución y además contienen los puntos de tangencia en su intersección con la circunferncia de puntos dobles.Posterioemente hallamos las mediatrices de unir el punto dado con los puntos de tamgencia de este modo podremos hallar los cuatro centros solución. Por último tarzar las circunferencias.

Séptimo problema

Vamos a explicar como se realiza la circunferncia tangente a dos rectas y que a su vez es tangente a otra circunferencia dada.Podremos dividir este problema en dos:

1- Hablaremos del caso en que la circunferencia dada se encuentra comprendida entre las rectas. El primer paso es construir a ambos lados de una de las rectas rectas paralelas a una distancia igual que el radio de la circunferncia dada, a continuación hallamos el simétrico del centro de dicha circunferencia respecto de la bisetriz del ángulo formado por las dos rectas. La recta que une el centro y su homólogo corta a una de las rectas trazadas en un punto, desde ese punto trazamos las tangentes a la circunfercia de centro y que pasa por el homólogo de dicha centro. A continuación trazamos un arco de circunferencia con centro el punto hallado y haciendo que pase por los puntos de tangencia, asi lo que conseguimos es que corte a la paralela hallada primera la corte en dos puntos, por último levantamos perpendiculares desde dichos puntos cortando a la bisectriz en dos puntos, los cuales serén los centros de las circunferncias buscadas.Para poder encontrar las otras dos circunferncias solución lo único que hay que hacer es repetir el proceso de nuevo con la otra paralela, así obtendremos las cuatro soluciones del problema.

2- Puede ocurrir que la circunferencia dada sea tangente a una de las rectas, por lo que para resolverlo se hace de la misma manera que antes, pero dos de las circunferencias solución corresponderán a la pareja auxiliar exterior ( se realiza de la misma forma que antes) y las otras dos soluciones se reducen al caso en que dos rectas se cortan, ya que conocemos el punto de tangencia de una de ellas.

Octavo Problema:

En este caso, el problema de Apolonio consiste en dadas dos circunferencias y una recta, hallar una circunferencia que sea tangente a las dos circunferencias y a la recta.

Este complicado caso, con ocho soluciones, se resuelve por reducción al caso de un punto (el centro de una de las circunferencias), una recta (una paralela a las dadas) y una circunferencia (una circunferencia concéntrica a la dada). Las circunferencias concéntricas a una de las circunferencias dadas tienen de radio R+r y R-r siendo R y r los radios de las circunferencias dadas y las paralelas a la recta se trazan a distancia r de la recta dada.

Así, estas cuatro circunferencias se han obtenido considerando una circunferencia concéntrica de radio R+r; de las cuatro circunferencias, dos se obtienen con una de las paralelas y las otras dos con la otra.

Estas cuatro circunferencias solución se obtienen considerando ahora una circunferencia concéntrica de radio R-r y de nuevo, dos con una de las paralelas y otras dos con la otra.

Aquí podemos ver las ocho soluciones en una misma figura.

Noveno problema

Vamos a desarrolar el penúltimo caso de los diez problemas de Apolonio antes de llegar al problema fundamental, en este caso vamos a explicar una circunerencia que pasa por un punto y es tangente a la vez de una circunferencia y de una recta.

Dependiendo de la colocación de los datos podemos tener cuatro soluciones pero en algunos casos no se llega a ninguna.

Para relizarlo hay que seguir una serie de pasos:

1. La recta es la figura de inversión de la circunferencia , hallamos una recta perpendicular a dicha recta y que pase por el centro de la circunferecia dada, así hallamos el centro de la circunferencia inversión( punto I en el dibujo).
2. Trazamos una circunferencia arbitraria que pasa por el punto dado y por los puntos que corta la recta que hemos tarzado a la circunferencia y a la recta dadas.Hallamos el homólogo del punto dado y también el eje radical y centro radical.( puntos P y P´en el dibujo)
3. Trazamos la mediatriz entre los puntos P y P´ y allí se encontrará los centros de las circunferencias solución. A continuación tarazamos el arco capaz de 90º del segmento CR-O y con ello conseguimos definir el lugar de tangencia T.
4. Centrado en CR y con radio CR-T cortamos r en T1 y T2. Desde T1 una recta perpendicular a r corta la mediatriz de PP’ en S2 y otra perpendicular desde T2 cortará en S1, centros de las dos circunferencias solución.
5. De este modo obtenemos dos soluciones.

1. Para poder obtener las otras dos soluciones debemos de considerar el centro de inversión negativo y hallar A´.Trazamos una circunferencia arbitaria que pase por los puntos A, A´ y P y posteriormente como en el caso anterior hallamos el punto P´y en centro y eje radical.
2. Realizamos el arco capaz de 90º del segmento CR-O, obteniendo de ese modo el lugar de tangencia T y como en el caso anterior cenro en CR y con radio CR-T hallamos los puntos de tangencia 3 y 4 al cortar a la recta en dos puntos.
3. Dibujamos la mediatriz del segmento PP’. Desde T3 una recta perpendicular a r corta la mediatriz de PP’en S3 y otra perpendicular desde T4 cortará en S4, centros de las otras dos circunferencias solución.

Décimo problema.

Por último vamos a hablar del problema fudamental de Apolonio, en el cual una circunferencia tiene que ser tangente a otras tres. En este caso podemos obtener hasta ocho soluciones dependiendo la forma en la que se encuentren las tres circunferencias que nos dan. Se realiza de la siguiente manera:

Lo primero que debemos hacer es hallar los seis centros de homotecia, tres internos y tres externos, de las tres circunferencias que nos dan. Estos seis puntos resultan estar en cuatro rectas. A continuación lo que hacemos es coger una de estas cuatro rectas y hallamos el polo respecto de las tres circunferencias, posteriormente unimos el centro radical de la circunferencia con los tres polos y obtenemos los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con las circunferencias dadas.Lo único que debemos hacer ahora es elegir bien entre los seis puntos de tangencia encontrados para trazar dos circunferencias tangentes. Este procedimiento que hemos realizado con una de las rectas, lo debemos realizar con las otras tres para poder obtener las ocho soluciones.

Se muestra una imagen de como sería la solución final. Es un poco complicado la realización de este ejercicio y esto queda patente en este dibujo.

Información obtenida de: “Geothesis” “Zonabarbieri” y Bella geometría.

Este artículo fue escrito por los alumnos de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Aeronáutica durante una experiencia de innovación educativa con uso del blog como herramienta formativa. Mi reconocimiento a su esfuerzo en sintetizar los métodos trabajados en el aula en este artículo que ha sido respetado casi en su totalidad, en forma y contenido