Apollonius اور ان کے دس مسائل

وہ ستادوستی کلاسوں میں میرے طالب علموں کو لکھا ہے جامع ترین مضامین میں سے ایک نام نہاد حل کرنے کے لئے کس طرح کی وضاحت کر رہا ہے “Apollonius مسائل”.

کا تعین براہ راست circumferences یا tangents کی طرف سے وضاحت ہندسی رکاوٹوں آئے بڑی دلچسپی کے ہندسی مسائل میں سے ایک خاندان کی بنیاد پر ہیں.

گروپ “AG-ہم ہکس نہیں ہیں” اس معاملے میں بجا طور پر اور thoroughness ہمیں متعارف کرایا. ابتدائی طور پر شائع کیا یہاں, سے تعلق رکھنے والے گروپوں کا تجربہ “تازہ ترین Experimentales”, آرٹیکل لفظی نقل کرنا, متن میں کچھ لنکس انہوں نے مزید کہا کہ اضافی. شکریہ ڈیاگو, ایلیسیا, کلارا, سارہ اور سرجیو

Apollonius اور ان کے دس مسائل

سوانح حیات:

نظریات اور Apollonius مسئلہ ترقی پذیر اس سے پہلے کہ ہم کی ایک مختصر سوانح عمری پیش کریں گے Apolonio.

ایک گنیتشتھ Apollonius Perge griego میں پیدا ہوا تھا(262 ی. سی.- 190 ی. سی.),آرکمڈیج کے ایک طالب علم تھا. نہ ہی میں بنایا تعارف کے علاوہ ان کی زندگی کے بارے میں جانا جاتا ہے ان کی تحریروں میں سے کچھ ان کے عظیم کام پر مشتمل ہے جن میں سے “مخروط” پہلی اصطلاحات میں استعمال: “بیضوی, پرولی اور hyperbola“. انہوں نے یہ بھی دریافت کیا اور بیان کیا “Epicycles” جس کے ساتھ Ptolemy گرہوں کی تحریک وضاحت کرنے کے لئے استعمال کریں گے. تاریخ دانوں کے مطابق Apollonius اسے ایک مشکل کا علاج کر دیا جس irascible کردار تھا.

Perga ہندسی موقف Apollonius کے کاموں کے علاوہ “مقامات طیارے” آپریشن کے طور پر قریب ایک جدید زبان اور وشلیشتاتمک ستادوستی کے ساتھ ہندسی ڈیزائن میں جاننے کے لئے سب سے زیادہ اہم چیزیں منعقد کئے جاتے ہیں، جہاں: homotecia, ترجمہ, سرمایہ کاری, گردش اور مماثلت.

Apollonius کی ستادوستی کے لئے اہم حصہ میں سے ایک مجوزہ سیسٹیمیٹک مسائل tangencies ہے, جس میں مندرجہ ذیل بیان میں خلاصہ کر رہے ہیں:

"ہو سکتا ہے کہ تین چیزوں کو دیکھتے, ان میں سے ہر ایک, پوائنٹس, براہ راست حلقوں, "تین ایک دائرے کی مانند مماس اپنی طرف متوجہ.

ان عناصر کے تبادلہ کے نتیجے میں مختلف tangents مسائل کلاسیکی ستادوستی کے معروف کیس اسٹڈیز کو جنم دے, تاریخ کے دوران تیار کیا گیا ہے کہ مختلف مجوزہ حل کے ساتھ.

کھڑے ہو جاؤ 10 مقدمات:

• تین پوائنٹس,
• تین لائنیں,
• دو پوائنٹس اور ایک لائن,
• دو لائنوں اور ایک نقطہ,
• بڑی آنت کے اور ایک فریم,
• دو حلقوں اور ایک نقطہ,
• دو لائنوں اور ایک دائرے کی مانند,
• دو حلقوں اور ایک لائن,
• نقطہ, ایک لائن اور ایک دائرے کی مانند
• تین حلقوں میں.

Apollonius کا ایک بنیادی حصہ, Conics ہیں.

Apollonius ان کے مطالعہ کارکردگی کا مظاہرہ کے طور پر Conic حصوں مشہور تھے, لیکن ان کے المسایل دیگر نظریات سے زیادہ چلتا ہے. اس سے پہلے یہ کہ Apollonius hyperbola یقین کیا جاتا تھا, تمثیل, اور بیضوی حصوں راس کا زاویہ کے مطابق مختلف شنک سے حاصل کر رہے تھے.

تو, Apollonius ان منحنی خطوط کے ایک شنک کے اسی حصوں سے حاصل کیا جا سکتا ہے کا مظاہرہ کیا, اس intersects کہ ہوائی جہاز کے جھکاو مختلف. شنک ایک صحیح شنک ہونا ضروری نہیں ہے کہ تصدیق کے علاوہ, سرکلر ہو سکتا ہے, scalene یا ترچھا.

اس کے علاوہ conic منحنی خطوط دلچسپ خصوصیات ہے.

دریافت کیا سب سے زیادہ اہم Apollonius میں سے ایک کی عکاسی خصوصیات ہیں.

تمثیل کی عکاسی: ایک دور دراز کے ذریعہ سے روشنی ایک parabolic آئینے کے ساتھ ہو تو, واقعہ کرنوں آئینے کے محور کے متوازی ہیں تاکہ, پھر آئینے کی طرف سے عکاسی روشنی توجہ پر مرکوز ہے.

علامات یہ ہے کہ آرکمڈیج, Apollonius کے معاصر, رومیوں سے Syracuse کے دفاع کے لئے اس کی خاصیت کا استعمال کرتے ہیں ان میں بحری جہازوں کو جلا دیا. اس کے لئے, سورج کی روشنی توجہ ہے کہ parabolic عکس کی پیداوار ایک ایسا نظام رومن بحری جہاز میں مل گیا.

آج جائیداد جیسے کئی افادیت ہے: ریڈار کے نظام, ٹی وی انٹینا یا شمسی عکس, دوسری باتوں کے ساتھ.

بیضوی کی عکاسی: اگر ایک انڈاکار آئینے کی توجہ میں رکھ دیا ایک روشنی کا منبع, پھر آئینے میں عکاسی روشنی دوسرے توجہ پر مرکوز ہے.

یعنی, اگر ایک توجہ مرکوز کی طرف سے ایک کرن, بیم بیضوی کی طرف سے عکاسی کی جا رہی دوسرے توجہ مرکوز کے ذریعے چلا گیا ہے کہ ایک راستہ کی پیروی.

اس کی خاصیت کی بنیاد پر, ہم دیکھ سکتے ہیں کہ ہم انڈاکار کے ساتھ ایک پول ٹیبل ہے تو, اور ایک توجہ مرکوز کی طرف سے گیند کا آغاز, کسی بھی سمت کے ساتھ, اس کھیل کی میز کے ساتھ اچھال اور دیگر توجہ مرکوز کے ذریعے جانا.

گیند شیخی سب سے پہلے توجہ مرکوز کے ذریعے جاری رکھیں گے تو, اور اسی طرح, گیند کی رفتار بیضوی کے سیمی اہم محور کے ساتھ الجھن میں کیا جائے گا جب ایک وقت تک llagase.

وہ ایک توجہ کے علاوہ کسی اور نقطہ نظر سے گیند پھینک کرنے کے بجائے اگر جوڑتا ہے اس لائن میں سے نہیں تھا, گیند پرکشیپوکر کے اعداد و شمار کے طبقات ایک دوسرے بیضوی کی وضاحت.

اور اس کے برعکس, گیند کے نقطہ اغاز foci منسلک لائن پر ایک نقطہ تھا تو, یہ وہی foci کے ساتھ ایک hyperbola کے لفافے اپنی طرف متوجہ کرے گا.

تعمیر کا شوقین انڈاکار چھت کمرے ہے. ایک توجہ مرکوز کی طرف سے ایک آواز کے ساتھ کرتے ہیں تو, اس دوسرے توجہ مرکوز کی طرف سے وشد وضاحت کے ساتھ آواز گی. ہم نے نشریات کے لئے لینے کی بھی آواز قطع نظر اس سمت میں سے ایک توجہ سے دوسرے کو پھیلانے کے لیے ایک ہی وقت لگے گا. اس سلسلے میں یہ بھی اجازت دیتا ہے کمروں کی soundproofing.

hyperbola کی عکاسی: ایک hyperbola کے foci میں سے ایک سے آنے والی شعاعوں کی عکاسی کرنیں ایک اور ذریعہ سے آنے کے لئے ظاہر ہوتے ہیں تاکہ عکاسی کر رہے ہیں.

اس کی خاصیت کی تخلیق کے لئے استعمال کیا گیا ہے LORAN, جو استعمال کیا گیا ہے اور اب بھی استعمال کیا جاتا ہے جس میں ایک ریڈیو زائد نیویگیشن آلہ ہے, ظاہر ہے، معاملے کی وجہ سے کے ظہور پر جیپیایس اور دیگر نظام, بحری جہازوں اور طیاروں کی پوزیشن کو ٹھیک کرنے کے لئے.

پرتویواسی سطح میں واقع دو ترسیل اسٹیشنوں سے شروع ہونے ایک رسیور سنکیتوں کو میں حاصل وقت کا فرق کے حساب پر مبنی ہے.

پوزیشننگ دو جہتوں میں کارکردگی کا مظاہرہ کیا جاتا ہے کے طور پر, آپ کو معلوم ہے اگر دو اسٹیشنوں پر فاصلے کے فرق پوائنٹس کے لوکس تلاش کر سکتے ہیں, آپ کشتی یا ہوائی جہاز حاصل کر سکتے ہیں، جہاں, جس جس کا foci موسموں ہیں hyperbola ہے.

دو یا زیادہ hyperbolas کی چوراہا جاننے والا ہوائی جہاز یا بحری جہاز کی پوزیشن کی وضاحت کرنا ممکن ہے.

دس مسائل APOLONIO

پھر ہم علاج کرے گا 10 Apollonius کے بنیادی مسائل, جو لائنوں اور حلقوں کے درمیان tangency پر مبنی ہیں.

آپ کا بنیادی مسئلہ کے بارے میں بات کرنا شروع کر چلو, دیگر تمام مقدمات حل، جس سے, تمام بالآخر دوسرے مماس ہے کہ ایک حلقے میں کم اور دو پوائنٹس سے گزر جائے یعنی. ان کا سب سے مشکل مسئلہ تین سے ایک دائرے کی مانند مماس بنانا ہے اگرچہ.

پہلا اور دوسرا مسئلہ

ماضی میں یہ مسئلہ، انجام دینے کے لئے سادہ ہیں, جو ہیں: پوائنٹس portres کے ذریعے دائرہ اپنی طرف متوجہ(پیپلز پارٹی) اور دو پوائنٹس کے ذریعے دائرہ اپنی طرف متوجہ اور ایک مماس لائن ہے(PPR). ذیل میں دکھائے گئے ہیں:

سرکل تین پوائنٹس سے گزر.

دو پوائنٹس کے ذریعے ایک لائن اور پاسنگ پر مماس

تیسرا مسئلہ

اب ایک دائرے کی مانند مماس کے معاملے پر ایک دوسرے کی توجہ مرکوز کرتے ہیں اور دو پوائنٹس سے گزر. کو حل کرنے کے لئے اقدامات مندرجہ ذیل ہیں.

1. ہم نے دیا پوائنٹس میں شامل ہونے طبقہ کے دوئباجک تلاش, یہ حلقوں کے مراکز ہونا چاہیے کہ ہم.
2. لائن ہم کہ ہم تمام حلقوں کے بنیاد پرست محور ہو جائے گا معلوم ہے کہ پوائنٹس میں شمولیت.
3. اس کے بعد پوائنٹس سے گزر رہا ہے اور دیئے گئے دائرہ کاٹنے کے ایک معاون کے دائرے میں اپنی طرف متوجہ اور دو حلقوں کے چوراہا کے پوائنٹس منسلک ایک براہ راست لائن اپنی طرف متوجہ. دو پوائنٹس سے منسلک لائن کے ساتھ اس لائن کے تعلق میں (بنیاد پرست محور) بنیاد پرست مرکز پایا.
4. ہم مرکز سے بنیاد پرست دی فریم پر tangents تلاش, حلقوں کے tangency کے ان نکات بھی ہم تلاش کر رہے ہیں گے.
5. آخر میں ہم دائرے کے مرکز کے ساتھ tangency کے پوائنٹس شامل کریں اور لمبوت دی پوائنٹس کاٹ ہم کہاں حل circumferences مراکز حاصل.

چوتھا مسئلہ

کی تین لائنوں پر ایک دائرے کی مانند مماس کے معاملے کو جاری کرتے ہیں, اس کیس میں چار ممکنہ حل ہو جائے گا, تصویر میں ذیل میں دکھایا جائے گا کے طور پر.

طریقہ کار بہت سادہ ہے:
-جیسا کہ ہم جانتے حلقوں کے مرکز تین لائنوں کی تشکیل ہے کہ اندرونی اور بیرونی bisectors میں ہونا لازمی ہے. Circumferences ان لائنوں کی intersections پر طلب کی پیداوار.

پانچویں مسئلہ

اگلے کیس ایک دو لائنوں پر ایک دائرے کی مانند مماس ہو اور جس کی وجہ سے نقطہ کے ذریعے گزر جاتا ہے کی وضاحت کرنے کے.

اس صورت میں ہم نے کئی امکانات کی بات:

1- لائنز کاٹا اور نقطہ ان کے درمیان ہے کر رہے ہیں تو:

اس پہلے کیس میں جو ہم زاویہ کے دوئباجک hllar دیا نقطہ کے ہم منصب مل جائے گا, مسئلہ کے دو پوائنٹس کے ذریعے گزر جاتا ہے کہ ایک براہ راست لائن پر ایک دائرے کی مانند مماس پر کم ہے whereupon

( مندرجہ بالا وضاحت کی).

2-: یہ دی پوائنٹ دیا لائنوں میں سے کسی ایک سے تعلق رکھتا ہے کہ ہو سکتا ہے:

مؤخر الذکر صورت میں ہم دو لائنیں تشکیل دو áangulos کے bisectors دیا نقطہ نقاط میں کاٹ bisectors پنکھوں کی کوشش کی جس میں یہ موجود ہے لائن پر ایک لمبوت متوجہ سراغ لگانے ہے ہے, circumferences کے مراکز یعنی.

3: آخر میں ہم دو دی لائنز متوازی ہیں کہ امکان بات چیت کریں گے.

ایک نقطہ دو لائنوں کے درمیان ہے کو معلوم ہے کہ, لہذا مرکز A اور لائنوں کے درمیان فاصلے کے برابر ویاس کے ساتھ ایک حلقے اپنی طرف متوجہ. اس طرح ہم مشرق وسطی کے متوازی کے ساتھ تعلق میں دو حل کے مراکز حاصل. نقطہ بھی ایسے نقطہ B کے طور پر دی گئی لائن میں encontar کر سکتے ہیں , اس وجہ سے حل اوسط متوازی کے تعلق کے طور پر دائرے کے مرکز کو تلاش کرنے اور لمبوت میں دو متوازی لائنوں میں سے کسی کی طرف اشارہ بی نے کہا کہ.
ذیل میں دکھایا گیا:

چھٹا مسئلہ

یہ مسئلہ دو دوسروں کو ایک دائرے کی مانند مماس بنانے اور ایک نقطہ سے گزر رہا ہے جبکہ پر مبنی ہے .. ہم چار ممکن workarounds پڑے گا.

ہم نے سرمایہ کاری کے لئے ایک مرکز کے طور پر دینے کے لئے اس نقطہ پر غور کریں اور دونوں حلقوں میں سے ایک لینے کے, autoinversión کے طور پر فریم, پھر پوائنٹس پلاٹ dobles.Y بعد دیا اعداد و شمار کے inversión.las circuanferencias tangents کا circunferenica تلاش circunferncia حل کی inverses ہیں اور بھی بندیدار circunferncia کے ساتھ اس کے تعلق میں circumferences مماس پوائنٹس پر مشتمل dobles.Posterioemente تلاش . آخر circumferences tarzar.

ساتویں مسئلہ

ہم نے دو لائنوں پر circunferncia مماس انجام اور باری میں ایک اور دائرہ dada.Podremos پر مماس ہے کہ دو حصوں میں اس مسئلہ کو تقسیم کرنے کے لئے کس طرح کی وضاحت کرے گا:

1- دی فریم لائنز کے درمیان ہے جہاں معاملے پر بات چیت. پہلا قدم دی circunferncia کا رداس کے برابر فاصلے کے متوازی سیدھی لائنوں میں سے کسی ایک کے دونوں طرف کی تعمیر کرنے کے لئے ہے, پھر دو لائنوں کی طرف سے قائم bisetriz کرنے کے لئے احترام کے ساتھ زاویہ فریم نے کہا کہ کے مرکز پر سڈول تلاش. ایک نقطہ میں سیدھی لائنوں میں سے ایک مرکز اور اس کے مختصر ہم منصب سے منسلک براہ راست لائن, اس نقطہ نظر سے ہم circunfercia مرکز tangents اپنی طرف متوجہ اور ہم منصب کے مرکز سے گزر. اس کے بعد مرکزی نقطہ کے ساتھ ایک آرک اپنی طرف متوجہ اور tangency کے پوائنٹس کے ذریعے پایا بنانے, پہلے دو پوائنٹس پر پایا تو کیا ہم ملے عدالت کے متوازی کاٹ رہا ہے, آخر ان باتوں سے اٹھا دو پوائنٹس پر دوئباجک کاٹنے کے لئے کھڑا, circunferncias buscadas.Para کے مراکز دیگر دو circunferncias حل تلاش کرنے کے لئے جس Serén تمہیں کیا کرنا ہے دیگر تمام متوازی کے ساتھ دوبارہ عمل کو دوبارہ ہے, تاکہ ہم اس مسئلے کے چار حل ملے.

2- یہ ہو سکتا ہے کہ لائنوں کی ایک دیئے گئے فریم مماس, اس لئے پہلے کی طرح اسی طرح حل کرنے کے لئے بنا دیا, لیکن حلقوں میں سے دو کی جوڑی حل بیرونی متعلق معاون کے مطابق ( اس سے پہلے کے طور پر اسی انداز میں کیا جاتا ہے) اور دوسرے دو حل دو سطریں ایک دوسرے کو کاٹنا، جہاں کسی معاملے میں کمی کر رہے ہیں, ہم جانتے ہیں کہ ایک چوٹکی کے بعد سے.

آٹھویں مسئلہ:

اس صورت میں, Apollonius کا مسئلہ ہے دو حلقوں اور ایک لائن دی, دو حلقوں مماس اور براہ راست ہے کہ ایک دائرے کی مانند تلاش.

اس پیچیدہ کیس, آٹھ حل, کمی ایک نقطہ کی صورت کی طرف سے حاصل کیا جاتا ہے (circumferences میں سے ایک کا مرکز), ایک لائن (دی کے لئے ایک متوازی) اور ایک فریم (بائیں طرف ایک concentric دائرے). دی حلقوں کے Concentric circumferences رداس ر R اور آر آر radii ر اور ر دی circumferences اور براہ راست فاصلے ر کے متوازی دی لائن میں منصوبہ بندی کر رہا ہے کیا جا رہا ہے.

تو, ان چار حلقوں رداس کی ایک concentric دائرے ر R غور کر حاصل کئے گئے; چار circumferences کے, دو دوسرے کے ساتھ متوازی میں سے ایک اور دوسرے دو کے ساتھ حاصل کر رہے ہیں.

ان چار حلقوں میں اب رداس آر آر کی ایک concentric دائرے پر غور کریں اور پھر سے حل حاصل کیا جاتا ہے, دو متوازی میں سے ایک اور دوسرے کے ساتھ دو.

یہاں آٹھ حل اسی کے اعداد و شمار میں ہے.

نویں مسئلہ

بنیادی مسئلہ تک پہنچنے سے پہلے Apollonius کے دس مسائل کے اپانتی ایونٹ تیار کرتے ہیں, اس معاملے میں ہم ایک نقطہ کے ذریعے ایک circunerencia پاسنگ کی وضاحت اور اس کی بجائے ایک لائن کے ایک حلقے میں مماس ہے گا.

ہم چار حل ہے اعداد و شمار کی جگہ کا تعین کرنے پر منحصر ہے لیکن کچھ معاملات میں کوئی بھی نہیں پہنچی.

relizarlo اقدامات کے ایک سلسلے پر عمل کرنے کی ہے:

1. لائن سرمایہ کاری کے اعداد و شمار فریم ہے , دی circunferecia کے مرکز کے ذریعے ایک لائن اس لائن پر کھڑا ہے اور پاسنگ تلاش, تو ہم نے سرمایہ کاری کے دائرے کے مرکز تلاش( ڈرائنگ میں اشارہ).
2. صوابدیدی ٹریس دی پوائنٹ اور براہ راست tarzado فریم کاٹا اور ہم منصب سے براہ راست دی نقطہ اور بھی بنیاد پرست اور بنیاد پرست مرکز محور dadas.Hallamos ہے کہ پوائنٹس سے گزر ایک دائرے کی مانند.( پوائنٹس P اور ڈرائنگ P'en)
3. ہم پوائنٹس کے پی اور پی 'کے درمیان دوئباجک سراغ لگانے اور آپ کو وہاں حلقوں حل کے مراکز مل جائے گا. پھر اس آرک کے قابل tarazamos 90 CR-O طبقہ اور tangency ٹی کی جگہ کا تعین کرنے کے لئے حاصل.
4. سی آر اور سی آر ٹی پر توجہ مرکوز T1 اور T2 میں رداس R کاٹ. T1 AR کی طرف سے ایک لمبوت دوئباجک پی پی مونڈے’ S2 میں اور T2 کٹ لمبوت سے ایک S1 پر, دو حلقوں کے حل کے مراکز.
5. اس طرح ہم دو حل حاصل.

1. ہم منفی سرمایہ کاری مرکز غور کرنا ہوگا دیگر دو حل ہو جاؤ اور ایک '. Arbitaria تلاش کرنے کے لیے ہم نے پوائنٹس کے ذریعے گزر جاتا ہے کہ ایک دائرے کی مانند ایک مبذول کرائی, اے 'اور P اور پھر پچھلے صورت میں کے طور پر ہم بنیاد پرست میں مرکزی نقطہ اور محور P'y تلاش.
2. ہم کر سکتے ہیں آرک کے علاقے 90-سی آر اے, اس طرح tangency کے پوائنٹس مل سی آر اور سی آر ٹی رداس میں گزشتہ کیس cenro میں tangency ٹی کے محل وقوع کے حاصل کرنے 3 اور 4 دو پوائنٹس میں لائن کاٹنے کے لئے.
3. طبقہ پی پی کے لمبوت دوئباجک ڈرا '. T3 ایک لائن لمبوت دوئباجک S4 میں T4 کٹ سے AR PP'en S3 اور ایک لمبوت مونڈے کے بعد سے, دیگر دو حلقوں کے حل کے مراکز.

دسویں مسئلہ.

Por último vamos a hablar del problema fudamental de Apolonio, جس میں تین سے ایک مکمل دائرہ مماس. En este caso podemos obtener hasta ocho soluciones dependiendo la forma en la que se encuentren las tres circunferencias que nos dan. مندرجہ ذیل کے طور پر کیا جاتا ہے:

Lo primero que debemos hacer es hallar los seis centros de homotecia, اندرونی اور بیرونی تین تین, ہمیں دینے کہ تین حلقوں کے. ان چھ پوائنٹس چار سطروں میں ہونا ہو. پھر ہمیں کیا کرنا ہے، براہ راست چار میں سے ایک لے اور تین حلقوں پر ھنبا تلاش, بعد میں تین کے کھمبے کے ساتھ دائرے کا بنیاد پرست مرکز میں شمولیت اختیار کی اور dadas.Lo اب ہم کرتے ہیں تمام tangency کے چھ پوائنٹس کے درمیان اچھی طرح منتخب کرنے کے لئے ہے کی تلاشی circumferences کے ساتھ حلقوں کے tangency کے پوائنٹس حاصل کرنے کے مماس دو حلقوں اپنی طرف متوجہ کرنے کے لئے مل گیا. یہ عمل ہم براہ راست میں سے ایک کے ساتھ کیا کیا, کیا ہم آٹھ کے حل حاصل کرنے کے لئے باقی تین کے ساتھ کیا.

یہ حتمی حل ہو جائے گا کہ کس طرح کی ایک تصویر سے پتہ چلتا ہے. یہ ورزش کارکردگی کا مظاہرہ کر پیچیدہ تھوڑا سا ہے اور اس تصویر میں واضح ہے.

سے حاصل کی معلومات: “Geothesis” “Zonabarbieri” بیلا geometría.

یہ مضمون ایک تعلیمی آلے کے طور پر بلاگ استعمال کرنے کے لئے ایک جدید تعلیمی تجربے کے لئے ایرواسپیس انجینئرنگ کے سکول کے طالب علموں کی طرف سے لکھا گیا ہے. اس مضمون میں کلاس روم میں کام کے طریقوں synthesize کرنے کے لئے ان کی کوششوں کا اعتراف میری تقریبا مکمل طور پر اوہیلنا نہیں کیا گیا ہے, فارم اور مواد میں