Una de las figuras geométricas más utilizadas en la geometría proyectiva es la del “Cuadrivértice Completo”, o su dual “Cuadrilátero Completo”.
De forma general, un cuadrivértice está formado por cuatro puntos, por lo que en el plano esta figura tiene 8 grados de libertad (2 coordenadas por cada vértice) y serán necesarias 8 restricciones para determinar uno concreto.
El cuadrivértice completo tiene 4 hoekpunte; se define a partir de un cuadrivértice general:
Esta figura tiene 6 lados, resultado de unir dos a dos los cuatro vértices.
Contiene 3 puntos diagonales, definidos por ser las intersecciones de los lados que no comparten un mismo vértice.
Tiene 3 diagonales, cada una de las cuales contiene a dos puntos diagonales
Relaciones Armónicas en el Cuadrivértice Completo
Recordaremos que dados cuatro puntos 'N, B, C en D, situados sobre una recta, podemos definir la razón doble de estos cuatro puntos (ABCD) como el cociente de las razones simples (ACD) en (BCD). La razón doble la estudiamos al definir las vervierdubbel van items bestel mientras que la razón simple fue formulada en la introducción a bestel drietalle van elemente.
Análogamente definíamos la razón doble de cuatro rectas, representado como (abcd), y relacionábamos esta razón doble con la de los puntos obtenidos al seccionar estas rectas, siendo iguales y por lo tanto (ABCD)=(abcd)
¿A qué llamamos cuaterna armónica?
Cuando el valor de la razón doble es “-1”, naamlik, la unidad negativa, decimos que los elementos de la cuaterna (ABCD)=(abcd)=-1 determinan una cuaterna armónica, y en consecuencia los dos primeros elementos, puntos o rectas, separan armónicamente a los dos últimos de cada cuaterna, naamlik:
- Si (ABCD)=-1 entonces “'N” en “B” separan armónicamente a “C” en “D”
- Si (abcd)=-1 entonces “'n” en “b” separan armónicamente a “c” en “d”
En el cuadrivértice podemos encontrar estas relaciones.
Si nos fijamos en la siguiente figura, sien ons dat (ABCD)=(A'B'C'D ') por ser secciones de un mismo haz de vértice V2, pero a su vez, (ABCD)=(B’A’C’D’) por ser secciones del haz de vértice V1.
De lo anterior se deduce que (A'B'C'D ')=(B’A’C’D’), pero como (A'B'C'D ')=1/(B’A’C’D’) ya que al permutar A’ y B’ se invierte el cociente de las ternas que determinan, concluimos que (ABCD)=(A'B'C'D ')=(B’A’C’D’) sólo puede tener módulo unitario.
Por otra parte, die kortlys (ACD) debe ser positiva por estar C y D al mismo lado respecto de A, y la terna (BCD) debe ser negativa por encontrarse B entre C y D.
De las dos últimas conclusiones se deduce que (ABCD)=(ACD)/(BCD) =-1 y en consecuencia la relación es armónica tanto para los puntos como para las rectas.
Dos lados de un cuadrivértice separan armónicamente a las diagonales que concurren en el punto diagonal que determinan
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