Una de las figuras geométricas más utilizadas en la geometría proyectiva es la del “Cuadrivértice Completo”, o su dual “Cuadrilátero Completo”.
د FORMA عمومی, un cuadrivértice está formado por cuatro puntos, por lo que en el plano esta figura tiene 8 grados de libertad (2 coordenadas por cada vértice) y serán necesarias 8 restricciones para determinar uno concreto.
El cuadrivértice completo tiene 4 رئوس; se define a partir de un cuadrivértice general:
Esta figura tiene 6 lados, resultado de unir dos a dos los cuatro vértices.
Contiene 3 puntos diagonales, definidos por ser las intersecciones de los lados que no comparten un mismo vértice.
شما باید 3 diagonales, cada una de las cuales contiene a dos puntos diagonales
Relaciones Armónicas en el Cuadrivértice Completo
Recordaremos que dados cuatro puntos A, B, C و D, situados sobre una recta, podemos definir la razón doble de estos cuatro puntos (ABCD) como el cociente de las razones simples (ACD) و (BCD). La razón doble la estudiamos al definir las چهار برابر از اقلام سفارش داده شده mientras que la razón simple fue formulada en la introducción a سه دستور از عناصر.
Análogamente definíamos la razón doble de cuatro rectas, representado como (ABCD), y relacionábamos esta razón doble con la de los puntos obtenidos al seccionar estas rectas, siendo iguales y por lo tanto (ABCD)=(ABCD)
¿A qué llamamos cuaterna armónica?
Cuando el valor de la razón doble es “-1”, یعنی, la unidad negativa, decimos que los elementos de la cuaterna (ABCD)=(ABCD)=-1 determinan una cuaterna armónica, y en consecuencia los dos primeros elementos, puntos o rectas, separan armónicamente a los dos últimos de cada cuaterna, یعنی:
- آن (ABCD)=-1 entonces “A” و “B” separan armónicamente a “C” و “D”
- آن (ABCD)=-1 entonces “a” و “ب” separan armónicamente a “ج” و “د”
En el cuadrivértice podemos encontrar estas relaciones.
Si nos fijamos en la siguiente figura, ما می بینیم که (ABCD)=(A'B'C'D ') por ser secciones de un mismo haz de vértice V2, pero a su vez, (ABCD)=(B’A’C’D’) por ser secciones del haz de vértice V1.
De lo anterior se deduce que (A'B'C'D ')=(B’A’C’D’), pero como (A'B'C'D ')=1/(B’A’C’D’) ya que al permutar A’ y B’ se invierte el cociente de las ternas que determinan, concluimos que (ABCD)=(A'B'C'D ')=(B’A’C’D’) sólo puede tener módulo unitario.
علاوه بر این, لیست کوتاه (ACD) debe ser positiva por estar C y D al mismo lado respecto de A, y la terna (BCD) debe ser negativa por encontrarse B entre C y D.
De las dos últimas conclusiones se deduce que (ABCD)=(ACD)/(BCD) =-1 y en consecuencia la relación es armónica tanto para los puntos como para las rectas.
Dos lados de un cuadrivértice separan armónicamente a las diagonales que concurren en el punto diagonal que determinan
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