Projective ستادوستی : الجھاؤ کا مرکز

Las involuciones en series de segundo orden son de especial interés en la determinación de los elementos de una cónica.

ہم کو کسی دقت کا محور کا تعین کس طرح دیکھا ہے اور, a partir del concepto de دو لائنوں کے لحاظ سے ایک پوائنٹ کے قطبی, ممکن انوولوٹانس جو چار نکات سے سیٹ نہیں کیے جا سکتے ہیں, con sus respectivos ejes de involución, obteniendo el اوٹپولار مثلث asociado en el que encontramos las relaciones armónicas del cuadrivértice completo.

اس مضمون میں ہم ان عناصر کو بڑھانے کے لئے جاری رکھیں گے, خاص طور پر کہ کیا کا تعین کرے گا اوٹپولار مثلث چوٹیوں کو میں کے طور پر جانا جاتا ہے “الجھاؤ کا مرکز”.

ہمیں یاد رکھنا ہوگا کہ دو پروجیکٹاوی براہ راست بیم ہے ایک projective مرکز یہ ان کا پابند کرتا ہے. Este punto lo podemos determinar mediante la intersección de dos lugares geométricos (pasarán por puntos de dos series perspectivas resultado de seccionar los haces por elementos homólogos).

Si consideramos los puntos de intersección de pares de rayos asociados (a-b’ y a’-b) obtendremos los lugares geométricos citados

دو projective بنڈل کے Projective مرکز

Si proyectamos desde dos puntos cualesquiera de una cónica dos series superpuestas que sean proyectivas, los haces resultantes son proyectivos y tendrán asociado un centro proyectivo.

En la figura hemos proyectado desde V1 y V2 los puntos A,بی,ایکس …. y A’,B’,ایکس’ que se encuentran en involución. Los pares de rayos asociados a-x’ y a’-x determinarán un lugar geométrico en el que se encuentra el eje proyectivo de estos haces. Este lugar geométrico es la recta A-A’ que une los dos puntos homólogos. Al repetir esta operación con otro par de puntos en involución vemos que D3 será el centro proyectivo buscado y cada par de puntos homólogos en la involución estarán en una recta que pasa por este punto, que llamaremos “الجھاؤ کا مرکز”.

Si obtenemos nuevos puntos en cualquiera de las involuciones de ejes e12, e23 y e31 estudiadas, vemos que los pares de puntos homólogos estarán alineados con los vértices del triángulo autopolar, D1, D2 اور D3. En cada involución los pares de puntos homólogos se encontrarán sobre rectas que contengan a su eje de involución.

Este punto nos permitirá obtener el homólogo de un punto en la involución con trazados menos laboriosos. Podemos usar por ejemplo el centro y el eje de involución en un mismo problema, destacando la forma de operar con ellos, para determinar el homólogo de un punto X.

Sea la involución de puntos A-A’ اور ب ب’ en la que se pretende determinar el homólogo del punto X.

Este punto lo determinaremos mediante la intersección de dos lugares geométricos en los que debe encontrarse.

• En la recta que se forma al proyectar X desde el centro de involución
• En el rayo homólogo del que obtenemos al proyectar desde un punto de la cónica. El haz perspectivo con vértice en el punto homólogo del de proyección tendrá por eje perspectivo el eje de involución.

Aunque ahorramos una única línea respecto del uso del eje de involución, los conceptos aplicados nos serán muy útiles en problemas más complejos como se verá más adelante.

مثال کے طور پر: involución de puntos

پوائنٹس a-اے لپیٹ دیا ہے ’, بی بی’ ایک فریم پر, نقطہ X کے ہم منصب کا تعین

ہم الجھاؤ کا مرکز کا عزم, دو لوکا کے تعلق پر مل کے: las rectas que contienen a cada par de puntos homólogos.

نقطہ X کے ہم منصب اور ہوں گے فریم X پر مشتمل لائن میں اور دقت کا مرکز

مثال کے طور پر: Involución de rectas.

سیدھی ایک-اے کی لپیٹ دی ’, بی بی, determinar las rectas homólogas de la involución que sean perpendiculares.

Este ejercicio será de utilidad para obtener posteriormente los ejes de una cónica a partir de dos parejas de diámetros conjugados.

Podemos seccionar por una circunferencia que pase por el vértice del haz en involución, para determinar dos series de segundo orden en involución.

ہم لپیٹ کے ذائقے کا تعین کر سکتے ہیں, como el centro o el eje tal y como hemos visto al estudiar estas transformaciones. اس صورت میں آپ کو مرکز اور دقت کا تعین کرنا چاہتے ہیں ۔.

ہمیں یاد رکھنا ہوگا کہ سیدھی لائنیں ارٹہوگونالاٹی کا تصور سے وابستہ ہے کی قابل آرک 90 °, una semicircunferencia.

Si tomamos cualquier punto de una semicircunferencia, punto V, las rectas determinadas por este punto y los extremos x-x’ de su diámetro son ortogonales.

VX y VX’ serán homólogos en una inversión si la recta X-X’ contiene al centro E de la involución.

En consecuencia X y X’ deben estar en el diámetro de la circunferencia que contenga al centro de involución.

اس طرح, la solución la determinaremos al obtener este diámetro, simplemente a partir del centro de la circunferencia y el punto E. Las soluciones serán las rectas X اور X’

Projective جیومیٹری