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أبولونيوس ومشاكله عشر

apolonioواحدة من المواد الأكثر شمولا كتبوه طلابي في فصول الهندسة وتصف كيفية حل ما يسمى “مشاكل أبولونيوس”.

تحديد تأتي محيطات مستقيم أو قيود هندسية يحددها الظلال تستند إلى عائلة من مشاكل هندسية ذات أهمية كبيرة.

المجموعة “AG، نحن لسنا هيكس” يقدم لنا بحق ودقة في هذه المسألة. نشرت في البداية هنا, ينتمون إلى تجربة مجموعات “بلوق Experimentales”, المادة نسخ حرفيا, إضافة بعض الروابط في النص التي تكمل. شكرا دييغو, أليسيا, كلارا, سارة وسيرجيو

أبولونيوس ومشاكله عشر

سيرة:

apolonioقبل وضع النظريات ومشكلة أبولونيوس وسوف نقدم سيرة موجزة عن Apolonio.

ولدت أبولونيوس عالم الرياضيات في بيرج غريخو(262 إيه سي- 190 إيه سي),وكان تلميذ من أرخميدس. ومن المعروف ولا عن حياته باستثناء مقدمات المحرز في بعض من الاطروحات له من الذي يتكون عمله العظيم “والمخروطيةالمستخدمة في شروط الأول: “القطع الناقص, القطع المكافئ والقطع الزائد“. كما انه اكتشف ووصف “أفلاك التدوير” con los que Ptolomeo utilizaria para explicar el movimiento de los planetas. Según los historiadores Apolonio tenía un carácter irascible lo que le hacía de un trato difícil.

Entre las obras geométricas de Apolonio de Perga destacan “Los Lugares Planos” donde se desarrollan las operaciones más importantes que hay que conocer en el trazado geométrico con un lenguaje moderno y cercano a la geometría analítica como: la homotecia, la traslación, la inversión, la rotación y la semejanza.

Informacion obtenida del Libro: “الرسم التقني” de Antonio L.Blanco. “ويكيبيديا”

Apolonio1bUna de las principales aportaciones de Apolonio a la geometría es la propuesta sistémica de los problemas de tangencias, que se resumen en el siguiente enunciado:

“Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, نقاط, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia tangente a las tres”.

Los diferentes problemas de tangencias que se derivan de permutar estos elementos dan lugar a los conocidos casos de estudio de la geometría clásica, con las diferentes propuestas de solución que se han ido elaborando a lo largo de la historia.

Se destacan 10 الحالات:

  • tres puntos,
  • tres rectas,
  • dos puntos y una recta,
  • dos rectas y un punto,
  • dos puntos y una circunferencia,
  • dos circunferencias y un punto,
  • dos rectas y una circunferencia,
  • dos circunferencias y una recta,
  • un punto, una recta y una circunferencia
  • tres circunferencias.

Otra de las aportaciones fundamentales de Apolonio, son Las Cónicas.

Las secciones cónicas ya eran conocidas cuando Apolonio realizo el estudio de estas, ولكن أطروحته يتحرك على نظريات أخرى. سابقا كان يعتقد أن أبولونيوس في القطع الزائد, المثل, وتم الحصول على أقسام القطع الناقص من المخاريط مختلفة وفقا لزاوية قمة الرأس.

refparaهكذا, أظهرت أبولونيوس أن هذه المنحنيات يمكن الحصول عليها من نفس المقاطع من مخروط, متفاوتة الميل من الطائرة التي يتقاطع هذا. بالإضافة إلى التصديق أن مخروط ليس من الضروري أن يكون مخروط الحق, قد تكون دائرية, مختلف الأضلاع أو منحرف.

بالإضافة إلى منحنيات مخروطي لها خصائص مثيرة للاهتمام.

واحدة من أهم أبولونيوس اكتشفت هي خصائص انعكاس.

انعكاس المثل: إذا كان هناك ضوء من مصدر بعيد مع مرآة مكافئ, de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.

Cuenta la leyenda que Arquímedes, contemporáneo de Apolonio, empleo esta propiedad para defender Siracusa de los romanos quemando las naves de éstos. Para ello, fabricó un sistema de espejos parabólicos que consiguieron concentrar los rayos solares en las naves romanas.

Hoy en día dicha propiedad tiene diversas utilidades como pueden ser: los sistemas de radar, las antenas de televisión o los espejos solares, في جملة أمور.

Reflexión de la elipse: si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco.

elipأي, si un rayo parte de uno de los focos, تنعكس بواسطة شعاع القطع الناقص تتبع المسار الذي مرت التركيز الأخرى.

استنادا إلى هذه الخاصية, يمكننا أن نرى أنه إذا كان لدينا طاولة بلياردو مع بيضاوي الشكل, وأطلق الكرة من التركيز واحد, مع أي اتجاه, هذا ترتد مع طاولة اللعبة وتذهب من خلال التركيز الأخرى.

reflexxxإذا كان كذاب الكرة ستستمر من خلال التركيز أولا, وهلم جرا, llagase حتى الوقت الذي كان فيه مسار الكرة سيكون الخلط بينه وبين نصف المحور الأكبر من القطع الناقص.

إذا بدلا من ذلك رمي الكرة من أي نقطة أخرى من التركيز واحد لم يكن واحدا من الخط الذي يربط, شرائح الكرة في الرقم مسار تصف القطع الناقص أخرى.

وعلى العكس من, إذا كانت نقطة الانطلاق من الكرة نقطة على خط يربط بين البؤر, هذا سوف يوجه المغلف من القطع الزائد مع نفس بؤر.

البناء هو السقف غرف بيضاوي الشكل الغريب. عندما جعل الصوت من التركيز واحد, هذا سوف يبدو مع وضوح حية من التركيز الأخرى. أيضا سوف تأخذ الصوت نفس الوقت لتنتقل من التركيز واحدة إلى أخرى بغض النظر عن الاتجاه الذي يأخذ للبث. يسمح هذا التأثير أيضا عازل للصوت من الغرف.

انعكاس لالقطع الزائد: تنعكس الأشعة القادمة من واحدة من بؤر القطع الزائد بحيث الأشعة المنعكسة يبدو أن تأتي من مصدر آخر.

وقد استخدمت هذه الخاصية لإنشاء LORAN, الذي هو جهاز راديو الملاحة القطعي الذي استخدم ومازال يستخدم, بوضوح، وإلى حد أقل بسبب ظهور GPS وغيرها من النظم, لتحديد موقف من السفن والطائرات.

يستند احتساب فارق التوقيت التي تم الحصول عليها في إشارات المتلقي القادمة من محطتي الإرسال الموجود في سطح الأرضية.

loranكما يتم إجراء تحديد المواقع في بعدين, إذا كنت تعرف الفرق من المسافات إلى المحطتين يمكن تحديد موقع مكان للنقاط, حيث يمكنك العثور على القارب أو الطائرة, وهو القطع الزائد الذي البؤر هي مواسم.

Conociendo la intersección de dos o más hipérbolas es posible definir la posición del avión o barco.

 

LOS DIEZ PROBLEMAS DE APOLONIO

A continuación vamos a tratar los 10 problemas fundamentales de Apolonio, los cuales están basados en las tangencias entre rectas y circunferencias.

Vamos a empezar hablando por su problema principal, a partir del cual se resuelven todos los demás casos, es decir todos deben reducirse en definitiva a una circunferencia que sea tangente a otra y que pase por dos puntos. Aunque su problema más difícil es hacer una circunferencia tangente a otras tres.

Primer y segundo problema

Anteriormente a este problema hay que son sencillos de realizar, los cuales son: trazar la circunferencia que pasa portres puntos(PPP) ورسم دائرة من خلال نقطتين والظل الى خط(PPR). وترد أدناه:

CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS

دائرة تمر عبر ثلاث نقاط.

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA Y PASA POR DOS PUNTOS.

الظل الى خط ويمر من خلال نقطتين

المشكلة الثالثة

الآن دعونا نركز على حالة المماس دائرة إلى أخرى، ويمر من خلال نقطتين. خطوات لحل هي كما يلي.

  1. نجد المنصف للجزء الانضمام إلى نقاط معينة, يجب أن تكون مراكز الدوائر التي نحن.
  2. خط الانضمام إلى نقطة ونحن نعلم أن سيكون المحور الراديكالي من الدوائر أننا جميعا.
  3. ثم رسم دائرة المساعدة التي تمر عبر نقطة والقطع دائرة معينة ورسم خط مستقيم يربط بين نقطة تقاطع الدائرتين. عند تقاطع هذا الخط مع خط يربط النقطتين (المحور الراديكالي) العثور على مركز جذري.
  4. ونحن نجد أن الظلال من المركز إلى محيط معين جذري, هذه النقاط من تماس الدوائر وأيضا نحن نبحث عن.
  5. وأخيرا نضيف نقاط تماس مع مركز الدائرة وحيث قطع عمودي على نقاط معينة نحصل على مراكز محيطات الحل.

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA CIRCUNFERNCIA Y QUR PASA POR DOS PUNTOS.

المشكلة الرابعة

دعونا تواصل مع حالة المماس الدائرة إلى ثلاثة خطوط, في هذه الحالة سوف يكون هناك أربعة الحلول الممكنة, كما سيظهر في الصورة أدناه.

هذا الإجراء هو بسيط:
-كما نعلم وسط الدوائر يجب أن تكون في المنصفات الداخلية والخارجية التي تشكل ثلاثة خطوط. محيطات إنتاج سعى في تقاطعات هذه الخطوط.
ppp3

المشكلة الخامسة

حالة المقبل لشرح أن يكون المماس الدائرة إلى خطين والذي يمر من خلال نقطة.

في هذه الحالة نتكلم عن عدة احتمالات:

prr11- إذا ما قطعت خطوط ونقطة بينهما:

في هذه الحالة أول ما سوف hllar منصف من زاوية والعثور على نظيره من نقطة معينة, con lo cual el problema queda reducido a una circunferencia tangente a una recta y que pasa por dos puntos

( explicado anteriormente).

prr22-: Puede ocurrir que el punto dado pertenezca a una de las rectas dadas:

En este segundo caso lo que hacemos es trazar las bisectrices de los dos áangulos que forman las dos rectas y por el punto dado trazamos una perpendicular a la recta que lo contiene la cual cortará alas bisectrices en los puntos buscados, es decir los centros de las circunferencias.

prr33: Por último hablaremos de la posibilidad de que las dos rectas dadas sean paralelas.

El punto A sabemos que se encuentra comprendido entre ambas rectas, por lo que trazamos una circunferencia con centro A y diámetro igual a la distancia entre las rectas. وبالتالي نحصل على المراكز من الحلين عند تقاطع مع خط العرض الأوسط. يمكن أيضا نقطة encontar في خط معين مثل النقطة (ب) , ولذلك تجد مركز الدائرة وتقاطع متوسط ​​موازية حل وعمودي على أي من الخطين بالتوازي في النقطة (ب) وقال.
هو مبين أدناه:

المشكلة السادسة

ويستند هذا مشكلة على جعل الظل الدائرة لاثنين آخرين وبينما يمر من خلال نقطة .. وسيكون لدينا أربعة الحلول الممكنة.

ونحن نعتبر أن نعطي نقطة كمركز للاستثمار واتخاذ واحد من الدائرتين, محيط كما autoinversión, ثم رسم نقطة dobles.Y circunferncia تجد لاحقا circunferenica من inversión.las الظلال circuanferencias لأرقام معينة هي العكوس من الحل وتحتوي أيضا على محيطات نقطة المماس عند تقاطعه مع circunferncia منقط تجد dobles.Posterioemente . أخيرا محيطات tarzar.

ppp7

العدد السابع

ونحن سوف يشرح كيفية تنفيذ المماس circunferncia إلى خطين وهذا بدوره هو ظل لآخر dada.Podremos دائرة تقسيم هذه المشكلة إلى قسمين:

1- Hablaremos del caso en que la circunferencia dada se encuentra comprendida entre las rectas. El primer paso es construir a ambos lados de una de las rectas rectas paralelas a una distancia igual que el radio de la circunferncia dada, a continuación hallamos el simétrico del centro de dicha circunferencia respecto de la bisetriz del ángulo formado por las dos rectas. La recta que une el centro y su homólogo corta a una de las rectas trazadas en un punto, desde ese punto trazamos las tangentes a la circunfercia de centro y que pasa por el homólogo de dicha centro. A continuación trazamos un arco de circunferencia con centro el punto hallado y haciendo que pase por los puntos de tangencia, وذلك ما نحصل عليه هو خفض مواز للمحكمة الاولى وجدت في نقطتين, وأخيرا نهض من هذه النقاط عمودي على خفض المنصف في نقطتين, سيرين التي والمراكز التابعة للcircunferncias buscadas.Para للعثور على اثنين آخرين circunferncias حل كل ما عليك القيام به هو تكرار العملية مرة أخرى مع أخرى موازية, حتى نحصل على الحلول الأربعة لمشكلة.

rrc1

2- فإنه قد يحدث أن المماس محيط معين من الأسطر, ولذلك وضعت لحل بنفس الطريقة كما كان من قبل, ولكن اثنين من الدوائر تتوافق مع الحل الزوج المساعدة الخارجية ( يتم تنفيذ في نفس الطريق كما كان من قبل) y las otras dos soluciones se reducen al caso en que dos rectas se cortan, ya que conocemos el punto de tangencia de una de ellas.

rrc2

Octavo Problema:

في هذه الحالة, el problema de Apolonio consiste en dadas dos circunferencias y una recta, hallar una circunferencia que sea tangente a las dos circunferencias y a la recta.

Este complicado caso, con ocho soluciones, se resuelve por reducción al caso de un punto (el centro de una de las circunferencias), una recta (una paralela a las dadas) y una circunferencia (una circunferencia concéntrica a la dada). Las circunferencias concéntricas a una de las circunferencias dadas tienen de radio R r y R-r siendo R y r los radios de las circunferencias dadas y las paralelas a la recta se trazan a distancia r de la recta dada.

هكذا, estas cuatro circunferencias se han obtenido considerando una circunferencia concéntrica de radio R r; de las cuatro circunferencias, dos se obtienen con una de las paralelas y las otras dos con la otra.

rcc1

Estas cuatro circunferencias solución se obtienen considerando ahora una circunferencia concéntrica de radio R-r y de nuevo, dos con una de las paralelas y otras dos con la otra.

rcc2

Aquí podemos ver las ocho soluciones en una misma figura.

rcc3

Noveno problema

Vamos a desarrolar el penúltimo caso de los diez problemas de Apolonio antes de llegar al problema fundamental, en este caso vamos a explicar una circunerencia que pasa por un punto y es tangente a la vez de una circunferencia y de una recta.

Dependiendo de la colocación de los datos podemos tener cuatro soluciones pero en algunos casos no se llega a ninguna.

Para relizarlo hay que seguir una serie de pasos:

  1. La recta es la figura de inversión de la circunferencia , hallamos una recta perpendicular a dicha recta y que pase por el centro de la circunferecia dada, así hallamos el centro de la circunferencia inversión( punto I en el dibujo).
  2. Trazamos una circunferencia arbitraria que pasa por el punto dado y por los puntos que corta la recta que hemos tarzado a la circunferencia y a la recta dadas.Hallamos el homólogo del punto dado y también el eje radical y centro radical.( puntos P y P´en el dibujo)
  3. Trazamos la mediatriz entre los puntos P y P´ y allí se encontrará los centros de las circunferencias solución. A continuación tarazamos el arco capaz de 90º del segmento CR-O y con ello conseguimos definir el lugar de tangencia T.
  4. Centrado en CR y con radio CR-T cortamos r en T1 y T2. Desde T1 una recta perpendicular a r corta la mediatriz de PP’ en S2 y otra perpendicular desde T2 cortará en S1, centros de las dos circunferencias solución.
  5. De este modo obtenemos dos soluciones.

ppp8

  1. Para poder obtener las otras dos soluciones debemos de considerar el centro de inversión negativo y hallar A´.Trazamos una circunferencia arbitaria que pase por los puntos A, A´ y P y posteriormente como en el caso anterior hallamos el punto P´y en centro y eje radical.
  2. Realizamos el arco capaz de 90º del segmento CR-O, obteniendo de ese modo el lugar de tangencia T y como en el caso anterior cenro en CR y con radio CR-T hallamos los puntos de tangencia 3 و 4 al cortar a la recta en dos puntos.
  3. Dibujamos la mediatriz del segmento PP’. Desde T3 una recta perpendicular a r corta la mediatriz de PP’en S3 y otra perpendicular desde T4 cortará en S4, centros de las otras dos circunferencias solución.

ppp14

Décimo problema.

Por último vamos a hablar del problema fudamental de Apolonio, en el cual una circunferencia tiene que ser tangente a otras tres. En este caso podemos obtener hasta ocho soluciones dependiendo la forma en la que se encuentren las tres circunferencias que nos dan. Se realiza de la siguiente manera:

Lo primero que debemos hacer es hallar los seis centros de homotecia, tres internos y tres externos, de las tres circunferencias que nos dan. Estos seis puntos resultan estar en cuatro rectas. A continuación lo que hacemos es coger una de estas cuatro rectas y hallamos el polo respecto de las tres circunferencias, posteriormente unimos el centro radical de la circunferencia con los tres polos y obtenemos los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con las circunferencias dadas.Lo único que debemos hacer ahora es elegir bien entre los seis puntos de tangencia encontrados para trazar dos circunferencias tangentes. Este procedimiento que hemos realizado con una de las rectas, lo debemos realizar con las otras tres para poder obtener las ocho soluciones.

Se muestra una imagen de como sería la solución final. Es un poco complicado la realización de este ejercicio y esto queda patente en este dibujo.

ppp29

Información obtenida de: “Geothesis” “Zonabarbieri” y Bella geometría.

Este artículo fue escrito por los alumnos de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Aeronáutica durante una experiencia de innovación educativa con uso del blog como herramienta formativa. Mi reconocimiento a su esfuerzo en sintetizar los métodos trabajados en el aula en este artículo que ha sido respetado casi en su totalidad, en forma y contenido

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