Apollonius en sy tien probleme

Een van die mees volledige artikels wat my studente in meetkunde klas geskryf word beskryf hoe om op te los die sogenaamde “Apolonio probleme”.

Bepaling omtrek kom reguit of geometriese beperkings gedefinieer deur die raaklyne is gebaseer op 'n gesin van meetkundige probleme van groot belangstelling.

Die groep “AG-Ons is nie Hicks” stel ons met vaardigheid en deeglikheid in hierdie uitgawe. Die eerste keer gepubliseer aquí, wat deel uitmaak van die groepe ervaring “Eksperimentele Blogs”, letterlik skryf artikel, die toevoeging van 'n paar skakels in die teks wat vul. Dankie Diego, Alicia, Clara, Sara en Sergio

Apollonius en sy tien probleme

Biografie:

Voor die ontwikkeling van die teorieë en Apollonius probleem sal ons 'n kort biografie van blootstel Apolonio.

Griekse wiskundige Apollonius is gebore in Perge(262 A. C.- 190 A. C.),was 'n dissipel van Archimedes. Dit is nie bekend oor sy lewe, behalwe vir die inleiding in sommige van sy verhandelings van sy groot werk bestaan “Koniese” waarin die eerste keer gebruik hulle die terme: “ellips, parabool en hiperbool“. Hy het ook ontdek en beskryf die “Epiciclos” met Ptolemeus gebruik word om die beweging van die planete verduidelik. Volgens geskiedkundiges Apollonius het 'n driftig karakter wat hom 'n moeilike behandeling gemaak.

Tussen geometriese werke van Apollonius van Perge staan “Plekke Planes” waar die mees belangrike dinge wat jy moet weet in geometriese ontwerp met 'n moderne taal naby analitiese meetkunde en ontwikkel: Verwyd, vertaling, belegging, rotasie en gelykenis.

Een van die belangrikste bydraes tot die geometrie van Apollonius voorgestel sistemiese probleme raaklyne, soos saamgevat in die volgende stelling:

"Gegewe drie voorwerpe wat kan wees, elkeen van hulle, punte, reguit of omtrek, trek 'n raaklyn aan die drie ".

Die verskillende raaklyne probleme wat voortspruit uit die uitruil hierdie elemente lei tot die bekende gevallestudies van klassieke meetkunde, met die verskillende voorgestelde oplossings wat ontwikkel is deur die geskiedenis.

Hoogtepunte 10 gevalle:

• drie punte,
• drie lyne,
• twee punte en 'n reguit,
• twee en 'n punt lyne,
• twee punte en 'n sirkel,
• twee sirkels en 'n punt,
• twee lyne en 'n sirkel,
• twee sirkels en 'n reguit,
• 'n punt, 'n lyn en 'n sirkel
• drie sirkels.

Nog een van die fundamentele bydraes van Apollonius, Hulle is koniese.

Kegelsnitte reeds bekend wanneer Apollonius uitgevoer om die studie van hierdie, maar sy poging beweeg oor die res van teorieë. Apollonius Voorheen is geglo dat die hiperbool, die gelykenis, en ellips afdelings is verkry uit verskillende keëls volgens die toppunt hoek.

So, Apollonius het getoon dat hierdie krommes kan verkry word van die afdelings van 'n keël, wisselende die helling van die vliegtuig wat die sny. Behalwe wat sertifiseer dat die cone hoef nie 'n reg cone wees, Dit kan omsendbrief, ongelyksydig of skuins.

Behalwe koniese kurwes interessante eienskappe.

Een van die belangrikste Apolonio ontdek die eienskappe van besinning.

Weerspieëling van die gelykenis: As die lig van 'n verre bron ontvang met 'n paraboliese spieël, sodat die voorval strale is parallel aan die as van die spieël, dan die lig weerspieël deur die spieël is gefokus op die fokus.

Legende het dit dat Archimedes, tydgenoot van Apollonius, gebruik hierdie eiendom aan Syracuse Romeinse skepe hulle brand te verdedig. Para ello, Hy het 'n stelsel van paraboliese spieëls wat konsentreer sonlig het in die Romeinse skepe.

Vandag is die eiendom het verskeie utilities as kan wees: radar stelsels, TV antennas of sonkrag spieëls, onder andere.

Weerspieëling van die ellips: As 'n ligbron is geplaas op die fokus van 'n elliptiese spieël, dan is die lig wat uit die spieël is gekonsentreer op die ander fokus.

Naamlik, As 'n straal van een fokus, wanneer besin oor die ellips bundel sal 'n pad wat het deur die ander fokus volg.

Gebaseer op hierdie eiendom, ons kan sien dat as ons 'n tafel met elliptiese, en gooi die bal van die een fokus, enige rigting, hierdie weiering om die tafel en gaan deur die ander fokus.

As die bal weerkaats sal voortgaan om deur die eerste uitbraak, en so aan, llagase tot 'n tyd wanneer die bal trajek sou verwar word met die hoofas van die ellips.

As plaas hulle gooi die bal uit enige ander as een fokuspunt was nie een van die lyn wat, segmente van die bal trajek beskryf die figuur van 'n ander ellips.

En omgekeerd, indien die beginpunt van die bal was 'n punt van die lyn verbind die brandpunte, hierdie plot die koevert van 'n hiperbool met dieselfde brandpunte.

Dit is nuuskierig gebou kamers met elliptiese dak. Deur afgee 'n geluid uit een fokus, Dit sal klink met helder helderheid van die ander fokus. Behalwe die klank sal dieselfde tyd oorgedra van een na 'n ander fokus ongeag die rigting wat ons neem vir die uitsending te neem. Hierdie effek kan ook die warmte kamers.

Weerspieëling van hiperbool: die strale kom van die een fokus van 'n hiperbool is so weerspieël dat die weerkaatste strale verskyn om te kom uit 'n ander bron.

Hierdie eiendom is gebruik vir die skepping van LORAN, waarvoor dit 'n hiperboliese navigasie radio toestel wat gebruik is en word steeds gebruik, Duidelik mindere mate te danke aan die begin van GPS en ander stelsels, die posisie van skepe en vliegtuie op te los.

Dit is gebaseer op die berekening van die tyd verskil met die seine afkomstig van die twee radiostasies geleë op die oppervlak van die aarde se verkry in 'n ontvanger.

Sedert posisionering word uitgevoer in twee dimensies, indien die verskil in afstand is bekend vir beide stasies kan jy die lokus van punte op te spoor, waar jy die boot of vliegtuig kan vind, waarvoor dit 'n hiperbool waarvan die fokuspunte is die seisoene.

Wetende dat die kruising van twee of meer hiperbole is moontlik om die posisie van die vliegtuig of boot definieer.

Tien probleme APOLONIO

Dan sal ons behandel 10 fundamentele probleme van Apollonius, waarin hulle is gebaseer op die raakpunt tussen lyne en sirkels.

Kom ons begin deur te praat oor hul grootste probleem, waaruit alle ander gevalle is opgelos, dws alle uiteindelik verminder word tot 'n sirkel wat raaklyn aan die ander en wat deur twee punte. Hoewel sy moeilikste probleem is om 'n raaklyn aan drie ander.

Eerste en tweede probleem

Voorheen hierdie probleem is daar eenvoudig om uit te voer, wat: trek die sirkel wat portres punte(PPP) en trek die sirkel deur twee punte en raaklyn aan 'n reguit(PPR). Hulle word hieronder getoon:

Sirkel wat deur drie punte.

Raaklyn aan 'n lyn en sirkel deur twee punte

Derde probleem

Nou laat fokus op die geval van 'n raaklyn aan 'n ander sirkel en wat deur twee punte. Die stappe om op te los, is soos volg.

1. Ons het gevind dat die middelloodlyn van die segment by die gegewe punte, dit moet wees die sentrums van die sirkels wat ons soek.
2. Die lyn verbind punte sal weet dat die radikale as van al die sirkels om te soek.
3. Dan trek ons ​​'n hulp sirkel deur die punte en sny die gegewe sirkel en trek 'n lyn wat die snypunte van die twee sirkels. By die kruising van die lyn met die lyn verbind die twee punte (radikale as) Ons het gevind dat die radikale sentrum.
4. Ons het gevind dat die raaklyne vanaf die middelpunt na die omtrek radikale links, hierdie raakvlakke van die sirkels sal ook soek ons.
5. Ten slotte word die punte van kontak voeg ons die middelpunt van die sirkel en die loodregte cut waar die gegewe punte die sentrums van die oplossing sirkels kry.

Vierde probleem

Ons sal voortgaan met die saak van 'n sirkel raaklyn aan drie reguit, in hierdie geval sal daar vier moontlike oplossings, soos hieronder vertoon sal word met die beeld.

Die proses is eenvoudig:
-Soos ons weet die middel van die sirkels moet wees in die interne en eksterne halveerlyne vorming drie lyne. Vervaardiging gesoek sirkels by die kruisings van hierdie lyne.

Vyfde probleem

Die volgende geval te verduidelik aa n raaklyn aan twee lyne en wat deur 'n punt verby.

In hierdie geval praat ons van 'n paar moontlikhede:

1- As die lyne gesny en die punt is tussen hulle:

In hierdie eerste geval sal ons hllar die middelloodlyn van die hoek en vind die eweknie van die gegewe punt, waardeur die probleem is verminder tot 'n raaklyn aan 'n reguit lyn en wat deur twee punte

( hierbo verduidelik).

2-: Dit mag wees dat die gegewe punt behoort aan een van die gegewe lyne:

In hierdie tweede geval het ons is die halveerlyne trek van die twee áangulos vorming twee lyne en die gegewe punt trek 'n loodreg op die lyn wat bevat halveerlyne sny vlerke in punte Gesoek, dws die sentrums van die omtrek.

3: Uiteindelik praat ons oor die moontlikheid dat die twee gegewe lyne parallel.

A weet dat die punt is tussen die twee reguit, dus trek ons ​​'n sirkel met middelpunt A en deursnee gelyk aan die afstand tussen die reguit. So het die sentrums van die twee oplossings kry ons by die kruising met die parallel gemiddelde. Die punt kan ook encontar in 'n gegewe soos punt B reguit , sodat ons vind die middelpunt van die sirkel oplossing as kruising van die loodregte en parallel met óf parallel lyne deur gesê dat punt B.
Dit word hieronder aangetoon:

Sesde probleem

Hierdie probleem is gebaseer op die maak van 'n raaklyn aan ander twee en wat ook gaan deur 'n vier moontlike oplossings punto..Tendremos.

Ons beskou die punt wat aan ons as 'n sentrum vir belegging en neem een ​​van die twee sirkels, as self-omkeer omtrek, teken dan die circunferncia punte dobles.Y later gevind dat die circunferenica van investment.Hypotheses circuanferencias reguit raaklyn aan die gegewe syfers is inverse oplossing van die sirkels en bevat ook die raaklyn punte op sy kruising met die circunferncia punte dobles.Posterioemente gevind die halveerlyne van die aansluiting by die gegewe punt met tamgencia punte So vind ons die vier sentrums oplossing. Ten slotte omtrek tarzar.

Sewende uitgawe

Ons sal verduidelik die raaklyn circunferncia gedoen twee lyne en wat op hul beurt is 'n raaklyn aan 'n ander sirkel dada.Podremos hierdie probleem te verdeel in twee:

1- Ons bespreek die geval waar die gegewe sirkel is tussen die reguit. Die eerste stap is om te bou aan beide kante van een van die parallel reguit lyne op 'n afstand gelyk aan die radius van die gegewe circunferncia, dan vind ons die middelpunt van simmetriese gesê omtrek met betrekking tot die bisetriz die hoek wat gevorm word deur die twee reguit. Die reguit lyn verbind die sentrum en sny een van die getrek reguit eweknie by 'n punt, van daardie punt trek ons ​​raaklyne aan circunfercia sentrum en wat deur die sentrum van die genoemde eweknie. Dan trek ons ​​'n boog met die middelpunt en gevind deur wat deur die raakvlakke, So wat ons kry, is dat die hof bevind parallel hof eerste twee punte, uiteindelik het ons wakker geword van hierdie punte middelloodlyn sny twee punte, wat is gerig aan die sentrums buscadas.Para circunferncias om die ander twee circunferncias oplossing al wat jy hoef te doen, is herhaal die proses met die ander parallel vind, so kry ons vier oplossings vir die probleem.

2- Dit mag wees dat die gegewe sirkel is raaklyn aan 'n reguit, so te los word gedoen in die dieselfde manier as voorheen, maar twee van die sirkels ooreenstem met die eksterne oplossing hulp egpaar ( Dit word uitgevoer in die dieselfde manier as voorheen) en die ander twee oplossings is verminder tot die geval waar twee lyne sny, omdat ons weet die raakpunt van een.

Agtste Uitgawe:

In hierdie geval, Apollonius probleem is Gegewe twee sirkels en 'n reguit, vind 'n omtrek wat raaklyn aan die twee sirkels en reguit.

Hierdie ingewikkelde saak, agt oplossings, Dit is opgelos deur die vermindering van die geval van 'n punt (die middel van die omtrek), 'n reguit ('n parallelle gegewe) en 'n omtrek ('n konsentriese sirkel aan die linkerkant). A konsentriese omtrek gegee omtrek van radius R + r en r Rr R synde die radiusse van die gegewe sirkels en parallel met die reguit afstand r is gekarteer uit die gegewe lyn.

So, hierdie vier sirkels verkry oorweging van 'n konsentriese sirkel van radius R + r; van die vier omtrek, Hulle verkry met twee van die parallel en die ander twee met die ander.

Hierdie vier sirkels verkry oplossing oorweeg nou 'n konsentriese sirkel van radius Rr en weer, twee parallelle en een van die ander twee met die ander.

Hier sien ons die agt oplossings in een figuur.

Negende probleem

Laat desarrolar die voorlaaste byeenkoms van die tien probleme Apolonio voor die bereiking van die fundamentele probleem, in hierdie geval sal ons 'n circunerencia wat deur 'n punt en raaklyn aan 'n sirkel in plaas van 'n reguit verduidelik en.

Afhangende van die plasing van data kan ons vier oplossings te hê, maar in sommige gevalle nie bereik.

Om relizarlo volg 'n reeks stappe:

1. Die lyn is die figuur van die belegging omtrek , Ons vind 'n lyn loodreg op die lyn en wat deur die middel van die gegewe circunferecia, So vind ons die middelpunt van die belegging omtrek( Ek wys in die tekening).
2. Ons trek 'n arbitrêre sirkel deur die gegewe punt en punte wat kort reguit tarzado die omtrek en reguit dadas.Hallamos homo gegewe punt en ook die radikale en radikale sentrum as.( P'en punte P en teken)
3. Ons teken die middelloodlyn tussen punte P en P 'en daar sentrums van die sirkels sal oplossing te vind. Dan kan die boog 90 CR-O segment tarazamos en dus kom ons by die plek van raakpunt T definieer.
4. Gefokus op CR en CR-T cut radius r in T1 en T2. T1 van 'n loodlyn sny die halveerlyn van PP ar’ in S2 en nog loodreg uit T2 sny in S1, sentrums van die twee sirkels oplossing.
5. So twee oplossings kry ons.

1. Om die ander twee oplossings verkry moet ons kyk na die negatiewe belegging sentrum en vind A'.Trazamos een arbitaria sirkel deur die punte A, A'and P en dan soos in die vorige geval vind ons die middelpunt P'y radikale as.
2. Ons buig in staat om 90 CR-O segment voer, sodoende die verkryging van die ligging van raakpunt T soos in die vorige geval cenro in CR en CR-T radio vind die raakvlakke 3 en 4 om die lyn te sny op twee punte.
3. Ons teken die segment halveerlyn van PP '. Sedert T3 ar n reguit sny middelloodlyn van PP'en S3 en nog loodreg uit T4 verlaging in S4, sentrums van die ander twee sirkels oplossing.

Tiende probleem.

Por último vamos a hablar del problema fudamental de Apolonio, waarin 'n sirkel moet raaklyn aan ander drie wees. En este caso podemos obtener hasta ocho soluciones dependiendo la forma en la que se encuentren las tres circunferencias que nos dan. Dit word soos volg gedoen:

Lo primero que debemos hacer es hallar los seis centros de homotecia, drie interne en eksterne drie, van die drie sirkels wat ons gee. Hierdie ses punte is vier lyne. Dan wat ons doen is om een ​​van hierdie vier reguit en gevind dat die paal op die drie sirkels, dan vat ons die radikale middelpunt van die sirkel met drie pale en kry die raakvlakke van die gesoek met omtrek kringe dadas.Lo enigste ding om nou te doen is om goed te kies tussen die ses raakvlakke gevind twee sirkels raaklyn. Hierdie prosedure wat ons gedoen het met een van die lyne, wat ons moet doen met die ander drie tot agt oplossings te kry.

'N beeld vertoon as die finale oplossing sou wees. Dit is 'n bietjie ingewikkeld die voltooiing van hierdie oefening en dit is duidelik in die prentjie.

Inligting verkry uit: “Geothesis” “Zonabarbieri” Bella en meetkunde.

Hierdie artikel is deur studente van die Skool vir Tegniese Lugvaartkundige Ingenieurswese vir opvoedkundige innovasie ervaring met die gebruik van die blog geskryf as 'n opvoedkundige hulpmiddel. My erkenning van sy poging om in sintetisering metodes gewerk het in die klaskamer in hierdie artikel is byna geheel en al gerespekteer, in vorm en inhoud