Metrieke meetkunde : Omkering van strale van omtrek

Al estudiar la inversión en el plano analizamos la transformación de los elementos geométricos básicos (recta y circunferencia) en dos casos diferentes, cuando el centro de inversión se encontraba sobre ellos o en un punto cualquiera que no les pertenecía.

La transformación mediante inversión de elementos agrupados en formas geométricas puede tener interés para usar la inversión como herramienta de análisis en problemas complejos. En este caso estudiaremos la transformación de los “haces de circunferencias corradicales” mediante diferentes inversiones que los transformen. Más adelante necesitaremos estas transformaciones para resolver el problema de “Apolonio” (circunferencia con tres restricciones de tangencia) o la “Generalización del problema de Apolonio” (circunferencias con tres restricciones angulares).

Transformación de la circunferencia por inversión

Si consideramos que una recta puede ser una circunferencia de radio infinito, generalizando, concluimos que en cualquier caso una circunferencia se transforma mediante una inversión en otra circunferencia.

Vimos que ambas circunferencias estaban relacionadas también mediante una homotecia de centro el de inversión. En la figura el punto I es centro de una inversión positiva que transforma la circunferencia c en la circunferencia c’. La potencia de inversión se ha representado mediante la circunferencia de autoinversión Ck cuyo radio es la raíz de dicha potencia. Los puntos 'N en 'N’ son elementos inversos pero no son homotéticos mientras que los de tangencia desde el centro de inversión, T en T’, son los únicos que son a la vez inversos y homotéticos con centro el punto Ek.

En su momento vimos que los centros de las circunferencias inversas se encuentran alineados con el centro de inversión y que, aunque son homotéticos en las homotecias que relacionan a las circunferencias, no son inversos en la inversión.

Inversión del Haz Parabólico.

Die haces de circunferencias corradicales de tipo parabólico son los formados por aquellas circunferencias que son tangentes entre sí en un mismo punto. Este punto pertenece al radikale as de todas ellas y tiene potencia nula respecto de cualquier circunferencia del haz al pertenecer a todas ellas.

Si consideramos las circunferencias tangentes en el punto “'N” a la circunferencia c que hemos invertido antes, sus transformadas pasarán por el punto A’ transformado del A y como sólo cortan en ese punto a la circunferencia c (son tangentes) sólo cortarán en el transformado A’ a la circunferencia c’ inversa por lo que deberán ser tangentes y determinarán de nuevo un haz parabólico.

La circunferencia del haz original que pase por el centro de inversión se convertirá en una recta tangente al haz transformado en el punto A’ en, dus, en su eje radical.

Al invertir con centro de inversión el punto común a todas ellas las transformadas serán un conjunto de rectas paralelas entre sí y perpendiculares a la recta base del haz original, ya que la inversa de una circunferencia que contiene al centro de inversión es una recta de dirección normal al diámetro de la circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Inversión del Haz Elíptico

Die haces de circunferencias corradicales de tipo elíptico son los formados por aquellas circunferencias que pasan por dos puntos comunes a todo el haz. Estos puntos denominados “puntos fundamentales del haz” pertenecen al radikale as del haz y tienen potencia nula respecto de cualquier circunferencia del haz al pertenecer a todas ellas.

De forma análoga a lo que hemos visto para el caso parabólico, al pasar por dos puntos todas las circunferencias del haz sus transformadas por inversión pasarán por los dos puntos inversos de los anteriores y en consecuencia determinarán un nuevo haz elíptico de circunferencias

El eje radical en del haz se convertirá en una circunferencia en’ que pasará por el centro de inversión.

Al invertir con centro de inversión uno de los puntos comunes a todas ellas (puntos fundamentales) las transformadas serán un conjunto de rectas que pasarán por el inverso del otro punto común que no es centro de la inversión.

Vemos por lo tanto que se transforman en un haz de rectas.

Inversión del Haz Hiperbólico

Die haces de circunferencias corradicales de tipo hiperbólico son los formados por aquellas circunferencias que no tienen ningún punto en común, sus centros se encuentran sobre una recta (base del haz) y tienen un radikale as común. Las circunferencias de menor diámetro tienen radio nulo (dos puntos, L1 y L2) denominándose “puntos límites del haz“.

Al estudiar estos haces vimos que los puntos límites del haz hiperbólico eran los puntos fundamentales del haz elíptico conjugado.

Esta relación entre los haces elípticos e hiperbólicos nos permite deducir que un haz hiperbólico al ser transformado mediante una inversión se transforma en otro haz hiperbólico cuyos puntos límites son los transformados de los puntos límites del haz original.

En efecto, si transformamos los dos puntos límites se convertirán en dos nuevos puntos inversos de los anteriores. El haz elíptico que pasa por ellos se convertirá en un haz elíptico que pasará por los transformados y, como la transformación es conforme (mantiene los ángulos), el haz hiperbólico que tiene por conjugado al elíptico, se transformará en un nuevo haz que deberá ser ortogonal al inverso del elíptico.

Especial interés tiene la inversión de centro uno de los puntos límites.

En la figura se ha representado un haz corradical hiperbólico con puntos límites L1 y L2, cuyas circunferencias tienen su centro en la recta base b, comparten el eje radical e y son ortogonales a la circunferencia del haz ortogonal de centro el del haz (intersección de la recta base y el eje radical). Esta circunferencia pasará por los puntos límites.

Si tomamos como centro de inversión uno de los puntos límites, por ejemplo L2, con una potencia cualquiera, el otro punto límite se transformará en un nuevo punto, L1′, y la circunferencia que pasa por los puntos límites, L1 y L2, perteneciente al haz conjugado del haz hiperbólico se transformará en una recta que pasará por L1′ inverso de L1.

Como todas las circunferencias del haz hiperbólico son ortogonales a esta circunferencia, sus inversas lo serán a la recta inversa de ella, por lo que tendrán que tener su centro en esta recta.

Por otra parte como los centros de las nuevas circunferencias inversas tienen que estar alineados con los centros de las circunferencias originales y el centro de inversión, al estar este centro de inversión en la recta base, las nuevas circunferencias inversas de las del haz deberán tener su centro en la recta base.

Naamlik, las circunferencias inversas deberán tener su centro en la recta base y en la recta transformada de la circunferencia que pasa por L1 y L2. La intersección de estas rectas es el punto L1′ inverso de L1, por lo que el haz de circunferencias se convierte en un conjunto de circunferencias concéntricas.

Veremos el interés de estas transformaciones al aplicarlas en la resolución de problemas de tangencias o angularidad.

Otras inversiones de interés.

Cabe destacar en todos los casos, haces elípticos, parabólicos e hiperbólicos, el interés que tiene usar un punto del eje radical como centro de inversión y potencia la de este punto respecto de las circunferencias del haz. En este caso el haz se transforma en sí mismo. Se deja al lector el análisis gráfico de este interesante caso.