Lugar Geométrico de la Suma/Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos

Los lugares geométricos permiten determinar puntos que satisfacen una determinada condición geométrica. Son de interés en la resolución de problemas en los que se imponen restricciones métricas o geométricas.

Algunos lugares geométricos son elementales y sirven para definir figuras geométricas conocidas, mientras que otros exigen elaborados procesos de determinación.

כך, לדוגמא, el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es constante es una circunferencia de centro el punto referido y de radio la distancia dada.

Relaciones en el triángulo

La aplicación directa del משפט פיתגורס nos permite obtener algunos lugares geométricos de alto interés en el desarrollo de teoremas avanzados de la geometría métrica.

En la figura se tiene el triángulo ABC y se han obtenido, sobre el lado “a“, el punto medio “M” ו pie de la altura “H” al determinar su altura “שעות” desde el vértice “A“. Esto permite determinar tres triángulos rectángulos (un ángulo recto) que podemos relacionar entre sí para obtener dos importantes lugares geométricos.

Los triángulos a los que nos referimos son:

• AHB
• AHC
• AHM

Como se aprecia en la figura, los tres triángulos comparten el lado “AH” como uno de sus catetos, y el otro cateto se encuentra en el lado “a”, בסיס, del triángulo; Son triángulos rectángulos ya que el lado “AH” es la altura del triángulo y en consecuencia es perpendicular a dicha base.

Aplicando el teorema de pitágoras, podemos obtener las tres relaciones siguientes:

sumando las dos primeras tendremos la suma de dos cuadrados

mientras que si restamos una a la otra tendremos la diferencia de dos cuadrados

Lugar Geométrico de los puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos es constante.

Veamos cómo podemos utilizar las relaciones anteriores para determinar el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen que la diferencia de los cuadrados de su distancia a dos puntos fijos es constante. Este teorema que vamos a determinar se puede enunciar de la siguiente forma:

El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de las distancias a dos puntos fijos B y C es una cantidad constante k es una recta ortogonal a BC cuya distancia al punto medio de BC es d=K/2BC.

Supongamos que uno de los puntos del plano que cumple esa condición es el vértice “A” del triángulo אלף בית, y que los puntos fijos a los que nos referimos son “ב '” ו - “C“.