¿Qué es una Involución en Geometría?

En geometría hablamos con mucha frecuencia con términos que, en algunos casos, no están suficientemente popularizados en el lenguaje cotidiano. Ello lleva a crear barreras en la interpretación de algunos conceptos sencillos.

Uno de los términos que más veces me han preguntado en clase es el de “Involución”. Definamos la involución.

¿Qué es una involución?

Buscaremos una primera aproximación en el Diccionario de la Lengua Española

“Retroceso en la marcha o evolución de un proceso” [1]

El origen latino proviene de “Involutio”, “Involutionis”, que significa “envolver”, “Girar una cosa hacia su interior”.

Vemos que el término indica por lo tanto una operación contraria que se realiza sobre sí mismo.

¿Qué es una involución en matemáticas?

Si aplicamos una transformación f a un elemento x de un conjunto X obtendremos su transformado x’. Esto se puede expresar como f(x)=x’.

Una involución es una transformación en la que al aplicar de nuevo la transformación al elemento transformado anterior se obtiene el elemento inicial

es decir:

f(f(x))=x

¿Qué es una involución en geometría?

En geometría trabajamos con representaciones gráficas de los elementos matemáticos. Podemos encontrar para cada punto, recta o plano de sus modelos una notación matemática que lo caracterice, por lo que en principio no deberíamos hacer ninguna diferenciación respecto de la definición dada anteriormente.

Sin embargo los elementos que usamos, aún siendo abstractos, pueden manipularse como entes concretos (los puntos de una figura geométrica, por ejemplo) por lo que puede merecer la pena hablar de “transformaciones involutivas” para acercarnos al concepto en operaciones gráficas.

Para terminar esta pequeña introducción al concepto de involución podemos discutir sobre algún ejemplo que nos clarifique esta idea.

Una transformación involutiva sencilla es la simetría, tanto las axiales como las centrales. Si transformamos un punto P en P’ mediante una simetría, es inmediato ver que al aplicar de nuevo la transformación a P’, llamándole Q, el transformado Q’ coincide con el elemento original P.

No debemos interpretar la involución como una transformación inversa, ya que esta última puede existir para una transformación cualquiera que no sea involutiva.

Por ejemplo, en una traslación existe una función inversa que es otra traslación del mismo módulo y dirección pero de sentido contrario. La traslación no es involutiva ya que si transformamos un punto P en P’ y volvemos a aplicar la misma traslación a P’ no obtenemos el punto P inicial.

Algunas transformaciones geométricas no son involutivas en general pudiendo se en algún caso particular. Un giro no es involutivo, pero si el ángulo de giro es de 180º si lo será.

Veremos la aplicación de estos conceptos especialmente en las transformaciones proyectivas, estudiando series y haces de primer y segundo orden en involución.

[1] Diccionario Manual de la Lengua Española Vox. © 2007 Larousse Editorial, S.L.

[2] Involución (W)