La definizione proiettiva della conica ha permesso di iniziare a risolvere i problemi classici di identificazione di nuovi elementi della conica (nuovi punti e tangenti in loro), e trovare l'intersezione con una linea o una tangente da un punto esterno. Questi problemi possono essere risolti con vari metodi più o meno complessi e percorsi concettualmente più o meno laboriose.

Vediamo ora come determinare i due possibili punti di intersezione di una riga con un cono definito da cinque punti.