Vamos a hacer una pequeña introducción a la topología de forma recreativa, mediante un juego que involucra una cinta o banda de Moebius.

Es un ejercício que hago en las primeras clases de geometría que doy a mis alumnos de aeronáuticos en la UPM y que sirve para explorar conceptos básicos a la vez que se estimula la curiosidad por la ciencia.

La banda de Moebius o cinta de Moebius (pronunciado /ˈmøbiʊs/ o en español a menudo “moebius”) es una superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. (In)

“El libro de las matemáticas. De Pitágoras a la 57ª dimensión. 250 hitos de la historia de las matemáticas”, Clifford A. Pickover, Librero, 2011.

Die Topologie es el estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Es una disciplina matemática que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas.

Die Topologie se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar… (In)

Para la actividad necesitaremos tan solo los elementos que se ven en la imagen:

Hoja de papel

Lápiz

Tijeras

Cinta adhesiva

Es una actividad que sirve para motivar a los alumnos, a la vez de estimular el pensamiento y el análisis racional.

Se puede realizar en un corto espacio de tiempo, una media hora, siendo un tiempo invertido que aporta un alto rendimiento intelectual

Construir las bandas

En primer lugar deberemos construir dos bandas con dos tiras de papel, una en forma de anillo y la banda de Moebius.

Cortaremos una tira rectangular de papel y pondremos un poco de cinta adhesiva en uno de sus extremos.

La idea es unir los dos bordes más cortos del rectángulo para formar una banda circular.

Podemos realizar esta operación de dos formas diferentes, según queramos una banda normal o la cinta de Moebius.

Primero realizaremos una banda normal. Uniremos los extremos del papel por su lado más corto para obtener una forma cilíndrica, un anillo.

Esta superficie tiene dos caras, una interior y otra exterior.

Si recorremos una de las caras con un dedo, nunca tocaríamos la otra cara.

A continuación construiremos la banda de Moebius. En este caso cuando se pegan los extremos damos media vuelta a uno de ellos.

Este giro del papel hace que conectemos las dos caras de la superficie; obtendremos una superficie con una sola, ya que si repitiéramos la operación anterior, recorriendo la superficie con un dedo, pasaríamos por toda su superficie.

Esta idea nos permite hablar de un número de caras pares (2) o impares (1).

Hemos construido dos bandas diferentes que nos servirán para “jugar” con ellas y estimular el análisis básico que nos permita trabajar posteriormente con superficies de forma abstracta.

Superficies de las bandas

Los elementos necesarios para iniciar la exploración ya están preparados. Revisaremos el número de caras a la vez que preparamos las bandas para ser cortadas.

Con el lápiz dibujaremos, desde un punto cualquiera, una línea que recorra la cara por su zona central. continuaremos dibujando hasta que se cierre la línea al completar la vuelta a la banda.

Tendremos dividida la banda por una línea que “equidista” de sus extremos. Diremos que esta línea se encuentra a distancia 1/2 ( un medio).

Mientras que en la banda normal sólo se dibujará la mitad de la superficie (la cara de la que hemos partido), en la banda de Moebius tendremos la línea en toda la superficie, la única cara que hay.

También se puede llamar “línea media” de la cara.

Como ejercicio posterior, podemos dibujar líneas a otras distancias:en lugar de dividir el ancho en dos partes, lo haremos en tres, cuatro …

Se deja abierto el ejercicio para motivar la exploración del ejercicio, planteando algunos interrogantes:

• Si dividimos en tres partes, al dibujar las líneas en la banda ¿Podemos hacerlo sin levantar el lápiz del papel? naamlik, con un solo trazo recorremos la cinta, completando las líneas.
• Al construir la banda, si en lugar de girar una vez, giramos dos, tres, cuatro…. ¿Cuántas caras tendrá la superficie?

Cortar las superficies

La parte más interesante del juego viene cuando “cortamos” la cinta siguiendo la línea que hemos marcado previamente. Antes de comenzar a cortar, ¿ Somos capaces de predecir qué va a pasar?

Empezaremos por la cinta “normal”, aquella que no tiene el giro.

Iremos siguiendo la línea dibujada hasta volver al punto en el que hemos empezado a cortar.

¿Será el mismo resultado con la otra cinta?

¿Tendremos una o dos cintas como consecuencia?

¿De una o dos caras en cada caso?

La anticipación de las respuestas es un interesante motor para el análisis. Vemos que al cortar la cinta obtenemos dos exactamente iguales a la primitiva, salvo en su ancho, que se ha reducido a la mitad.

¿Qué pasará al cortar la cinta de moebius?

Vemos que en este otro caso lo que se obtiene es una cinta también de la mitad de la anchura que la original, maar “sólo una cinta”.

Su longitud ha pasado a ser el doble que la primitiva, al fin y al cabo “sólo teníamos una cara” !!!

¿Cuantas caras tiene la nueva banda?

Este ejercicio no termina aquí, ahora deberemos tratar de generalizar los resultados en el caso en que marquemos líneas en lugar de en la línea media, a un tercio de la distancia (ancho), o a un cuarto, o a un quinto …..

También podemos especular sobre qué pasaría si hacemos dos giros al construir la cinta, o tres, o cuatro….

Podemos construir unas cuantas cintas para experimentar y sacar conclusiones, el resultado puede ser sorprendente.

¿Obtendremos dos cintas enlazadas?

¿Es posible obtener tres? die “tres veces más larga” ???

Os dejo el análisis que bien puede daros una tarde de entretenimiento. Una tarde con vuestros amigos, hijos o alumnos.

Un ejercicio que, como dije al principio, es un buen tiempo invertido ya que la sorpresa agudiza el pensamiento crítico y creativo.

¿Te animas a experimentar?