אחד המושגים הקשים ביותר להטמיע בכיתות הראשונות של גאומטריה פרויקטיבית זה כי לא תקין של הצבע. Un נקודה לא נכונה היא נקודה שנמצאת באינסוף ושנוכל לתרגם אותה או לפרש אותה כיוון אחד.
בעוד שבגיאומטריה המטרית שני קווים מצטלבים או מקבילים, בגיאומטריה השלכתית הם תמיד מצטלבים בנקודה נכונה או לא תקינה, מה שלא משנה בכל מקרה את התפעול עם המודל הגיאומטרי-מתמטי הזה.
התלמידים שלי רצו להדגיש את ההיבט הזה שלהם trabajos ו -, בחוויית חדשנות חינוכית בה פיתחנו את הנושא בבלוגים, הם הציעו לנו את המאמר המוזר הזה. El grupo “מקרין-אנדו” כיבד את שמו:
הקווים המקבילים מצטלבים באינסוף, מיתוס או מציאות?
תמיד שמענו ששני קווים מקבילים הם אלו, שלא משנה כמה זמן הם מתארכים, לעולם אינם מצטלבים, אבל אנחנו גם מכירים את הרעיון ששני קווים מקבילים מצטלבים באינסוף. איזו משתי ההצהרות הללו נכונה?? בהמשך ננסה לתת מענה לדילמה העומדת בפנינו..
קווים מקבילים ?
אוקלידס היה מתמטיקאי וגיאומטר יווני, שגר בסביבה 300 a.C. זה ידוע כ “אבי הגיאומטריה” והיה היוצר של הגיאומטריה הנושאת את שמו שלו.
La גיאומטריה אוקלידית הוא כזה החוקר את תכונות המישור והמרחב התלת מימדי. ההצגה של זה נעשית באמצעות מערכת של אקסיומות ש, ממספר מסוים של הנחות שנחשבות נכונות ובאמצעות פעולות לוגיות, מייצר הנחות חדשות שערך האמת שלהן הוא גם חיובי. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:
- Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.
- Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.
- Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
- Todos los ángulos rectos son iguales.
- Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:
5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.
אוקלידס הניח שכל ההנחות או האקסיומות שלו היו מובנות מאליהן ולכן עובדות שאינן דורשות הוכחה.. אולם, ההנחה החמישית התבררה שלמרות שהיא מתאימה לארבע האחרות, הוא עצמאי במידה מסוימת. כלומר, גם ההנחה החמישית וגם שלילת ההנחה החמישית, תואמים את ארבעת ההנחות האחרות. הגיאומטריות שבהן ההנחה החמישית אינה תקפה נקראות גיאומטריות לא אוקלידיות.
בתקופת הרנסנס, הצרכים החדשים לייצוג של אמנות וטכניקה דחפו הומניסטים מסוימים לחקור תכונות גיאומטריות.. גילוי פרספקטיבה וחתך, ליצור את הצורך להניח את היסודות הפורמליים שעליהם ניתן למלט את צורות הגיאומטריה החדשות שהיא מרמזת: la הטלי גיאומטריה, שעקרונות היסוד שלו מופיעים במאה השבע עשרה:
- שתי נקודות מגדירות קו.
- כל זוג קווים מצטלבים בנקודה מסוימת. (כאשר שני ישרים מקבילים, אנו אומרים שהם נחתכים בנקודה באינסוף המכונה נקודה לא תקינה.).
באמצעות שני העקרונות הללו נוכל לקבל את התשובה לשאלתנו. ההבדל שאנו מוצאים הוא בהנחה החמישית של אוקלידס (של ההקבלות); מה זה אומר: דרך נקודה מחוץ לקו, ניתן לצייר רק מקבילה אחת לקו הנתון.. זו האקסיומה, בהשלכה ראינו זה עתה שזה לא קיים, אז אין “מַקְבִּיל”; כל הקווים מצטלבים, כלומר, מצטלבים בנקודה. כך, המושג של נקודה לא תקינה מופיע (מסומן ב-Infinity subscript; מכיוון שאיננו מייצגים אותו במקום ספציפי כמו שאר הנקודות); שיבוא לקבוע את “כתובת” ישר. כל השורות שבאופן אוקלידי- היה “מַקְבִּיל”, באופן השלכתי הם מצטלבים באותה נקודה לא תקינה ובתורם כל הנקודות הלא תקינות של מישור קובעות קו לא תקין, ייחודי במישור הזה.
למרות שרק הצהרנו את זה, לסיכום, התשובה לשאלתנו האם ישרים מקבילים מצטלבים באינסוף היא הבאה: קווים מקבילים מנקודת מבט של גיאומטריה פרוג'קטיבית חתוכה באינסוף, אבל, בהתבסס על גיאומטריה EUCLIDEAN, הקווים הישרים לעולם לא חותכים אותם.
חייב להיות מְחוּבָּר לפרסם תגובה.