אפולוניוס ועשר הבעיות שלו

אחד המאמרים המקיף ביותר שנכתב על ידי התלמידים שלי בכיתות של הגאומטריה הוא מתאר כיצד לפתור את מה שנקרא “הבעיה של אפולוניוס”.

הקביעה של עיגולים או קווים ישרים שמגיעים המוגדר לפי אילוצים גיאומטריים בהתבסס על tangencies מהווים משפחה של בעיות גיאומטריות עניין רב.

El grupo “AG-אנחנו לא היקס” מציג אותנו עם תבונה, ריגורוזיות לבעיה הזאת. בתחילה פורסם aquí, השייכות קבוצות של הניסיון “בלוגים ניסויי”, אני לתמלל את המאמר פשוטו כמשמעו, הוספת קישורים מסוימים בטקסט זה משלים אותו. Diego. תודה, אלישיה, ברור, שרה, Sergio

אפולוניוס ועשר הבעיות שלו

ביוגרפיה:

לפני פיתוח תיאוריות הבעיה של אפולוניוס יציג ביוגרפיה קצרה של Apolonio.

אפולוניוס היה מתמטיקאי יווני יליד פרגה(262 לפנה ס- 190 לפנה ס),הוא היה תלמידו של ארכימדס. לא ידוע על חייו. חוץ ההיכרות נעשתה ב חלק את החוזים שלהם העבודה הגדולה שלו מורכב “חתכי” בה התנאים נעשה שימוש בפעם הראשונה: “אליפסה, פרבולה, היפרבולה“. הוא גם גילה ותיאר “שני המעגלים” שימוש תלמי זה כדי להסביר את התנועה של הכוכבים. לפי היסטוריונים אפולוניוס הייתה תו נרגנים שגרמה לו טיפול קשה.

הם כוללים יצירות גיאומטריות אפולוניוס של פרגה “מקומות שטוח” איפה הם מפתחים את הפעולות החשובות ביותר אשר חייב להיות ידוע פריסה גיאומטריים עם מודרני, בקרבת שפת גאומטריה אנליטית כמו: homothetic, תרגום, השקעה, סיבוב ודמיון.

תרומות הראשי של אפולוניוס כדי הגיאומטריה זה הבעיות מערכתית של tangencies, אתה מסוכמות את ההצהרה הבאה:

"נתון שלושה אובייקטים שניתן, כל אחד מהם, נקודות, קווים ישרים או עיגולים, לצייר טנגנס במעגל עד 3".

הבעיות השונות של tangencies הנובעות החלפת רכיבים אלה לגרום במקרים הידועים של המחקר של הגיאומטריה קלאסית, עם ההצעות השונות של פתרון שפיתחנו לאורך ההיסטוריה.

להתבלט 10 מקרים:

• שלוש נקודות,
• 3 ישר,
• שתי נקודות וישר,
• שתי שורות, ונקודת,
• שתי נקודות והיקף,
• שני מעגלים, ונקודת,
• שתי שורות ומעגל,
• שני מעגלים, וקו,
• נקודה, קו ישר, עיגול
• שלושה עיגולים.

עוד אחד תרומות הבסיסית של אפולוניוס, . הם חרוט.

חתכי כבר היו ידועות בעת התיכון שנערך המחקר של אלה, אך מכתביו משאיר מאחורי שאר תיאוריות. לפני אפולוניוס האמינו כי ההיפרבולה, משל, האליפסה והשיג ממקטעים של קונוסים שונים לפי הזווית של הקודקוד.

כך, אפולוניוס הראה כי עקומות אלה ניתן למצוא בסעיפים של קונוס אותו, על ידי שינוי הזווית חיתוך זה. בנוסף המאשר כי קונוס לא צריך להיות חרוט ישר, זה יכול להיות עגול, שווה צלעות או אלכסונית.

העקומות חרוטי יש גם מאפיינים מעניינים.

החשובים ביותר הוא גילה אפולוניוס הם המאפיינים של השתקפות.

השתקפות של משל: אם הוא מקבל אור ממקור מרוחק עם מראה פרבולית, אז קרני התקרית המקבילים לציר של השיקוף, ואז האור בא לידי ביטוי במראה מתמקדת על המוקד.

האגדה אומרת כי ארכימדס, זמנו של אפולוניוס, השתמש באפשרות זו רכוש כדי להגן על סירקיוז מהרומאים שרפו את הספינות האלה. Para ello, זה יוצר סדרת מראות פרבוליות כי לרכז אור השמש על ספינות הרומית.

היום הנכס כולל כלי עזר שונים כגון: מערכות מכ ם, אנטנות טלוויזיה או מראות, שמש, בין היתר.

השתקפות של האליפסה: אם תמקם מקור אור-מוקד מראה אליפטית, ואז האור המשתקף במראה מתמקדת המוקד אחרים.

כלומר, אם חלק ריי לאחד, כדי לשקף באליפסה קרן ימשיך קריירה שעבר דרך המוקד אחרים.

בהתבסס על המאפיין הבא, אנחנו יכולים לבדוק אם יש לנו מאגר של שולחן בצורת אליפסה, ואנחנו משיקים את הכדור מאחד אליפסה, עם מכל כיוון, השעות עם המשחק בטבלה והעביר את המוקד אחרים.

אם הכדור היה להמשיך הקפצה לעבור את המוקד הראשון, וכן הלאה, עד llagase לרגע שבו יבלבל המסלול של הכדור עם הציר semimajor של האליפסה.

אם במקום זאת השקנו את הכדור מכל נקודה אחרת זה לא היה אחד מוקדים או קו אחד המאחד אותם, הקטעים של המסלול של הכדור תתאר את דמותו של אליפסה אחר.

לעומת זאת, אם נקודת המוצא של הכדור היה נקודה של הקו המחבר את הזרקורים, זה לצייר היפרבולה עם המעטפה foci אותו.

בניית חדרים עם גגות אליפטי הוא סקרן. כדי להשמיע צליל מאחד, זה שמע בבהירות מוחלטת המוקד אחרים. בנוסף הצליל לוקח המשודרת בו-זמנית של מוקד השני ללא קשר הכתובת אליה אנו נשתמש כדי לשדר את זה.. אפקט זה גם מאפשר את soundproofing של חדרים.

השתקפות של ההיפרבולה: קרני השמש מגיע מאחד מוקדים של היפרבולה משתקפים כך קרני משתקף להופיע לבוא מן המוקד אחרים.

מאפיין זה שימש ליצירת לוראן, . זה מכשיר ניווט ההיפרבולי רדיו שימש והוא עדיין משתמש, כמובן זה פחותה בשל הופעתה של ה-GPS ומערכות אחרות, כדי לתקן את המיקום של אניות ומטוסים.

מבוסס על חישוב הזמן ההבדל עם אותות שמקורם שני משדרים ממוקם כדור הארץ מתקבלים מקלט.

מיקום זאת על שני ממדים, אם אתה יודע את ההבדל של המרחקים אל שתי תחנות מיקומה של הנקודות ניתן לאתר, שבו אתה יכול למצוא את הסירה או כלי טיס, . זה היפרבולה מוקדים אשר ממוקמות התחנות.

בידיעה החיתוך של שניים או יותר hyperbolas זה אפשרי להגדיר את המיקום של המטוס או סירה.

הבעיות עשר של אפולוניוס

ואז אנחנו ננסה 10 בעיות יסוד של אפולוניוס, אשר מבוססים על tangencies בין קווים ועיגולים.

בוא נתחיל בכך שהוא מדבר על הבעיה העיקרית שלהן, שממנו בכל המקרים האחרים נפתרות, כלומר כל מה צריך להיות מופחת בסופו של דבר על מעגל זה נקודות המשיק אחרת, עובר דרך שני. למרות הבעיה הקשה ביותר שלו היא לעשות טנגנס במעגל שלושה אנשים אחרים.

הבעיה הראשונה והשניה

לפני בעיה זו יש שקל לעשות, אשר הם: מעקב אחר היקף אשר מעביר portres נקודות(PPP) ולאתר היקף אשר עובר על ידי שתי נקודות היא משיק לקו(PPR). הם מוצגים להלן:

מעגל עובר דרך שלוש נקודות.

מעגל משיק את קו, עוברת דרך שתי נקודות

הבעיה השלישית

עכשיו אנו נתרכז במקרה של טנגנס במעגל אחר, עובר דרך שתי נקודות. הם הצעדים לפתור את זה.

1. אנו מוצאים את אנך של קטע בהצטרפות בהתחשב נקודות, . זה בטח המרכזים של החוגים שאנחנו מחפשים.
2. הקו הישר להצטרף הנקודות שאנחנו יודעים להיות הציר הרדיקלי של כל העיגולים שאנו מחפשים.
3. אנו לצייר עיגול עזר עובר דרך הנקודות וכי לחתוך את היקף מסוים ואז לצייר ישר שורה הנקודות של הצטלבות של שני מעגלים. בנקודת החיתוך של הקו עם קו ישר להצטרף שתי נקודות (eje radical) מצאנו את המרכז רדיקלית.
4. מצאנו משיקים מהמרכז רדיקלית על היקף בהתחשב, אלה נקודות המגע יהיה גם העיגולים שאנו מחפשים.
5. לבסוף נוסיף את הנקודות של קשר עם מרכז המעגל, איפה זה לחתוך חוצה הזווית של נקודות נתון יקבל את המרכזים העיגולים פתרון.

הבעיה הרביעית

אנו נמשיך עם המקרה של טנגנס במעגל כדי שלוש שורות, במקרה זה יהיו הפתרונות האפשריים לארבעה, כפי שנראה להלן עם תמונה.

ההליך הוא פשוט:
-כפי שאנו יודעים מרכז החוגים בטח נמצא את bisectors זווית חיצונית בצורת שלושת הקווים ישרים. הפקת circumferences פופולרי בצמתים שורות אלה.

בעיה החמישית

המקרה הבא להסביר להיות טנגנס במעגל שתי שורות, אשר עובר דרך נקודה.

במקרה זה יהיה. לנו לדבר על כמה אפשרויות:

1- אם הקווים הם גזור ונקודת ביניהם:

זה קודם התיק יהיה מה לעשות hllar חוצה את הזווית של זווית יוצרות, למצוא את המקבילה של נקודה מסוימת, ואז הבעיה תקטן טנגנס במעגל לקו, הוא עובר דרך שתי נקודות

( שהוסברו לעיל).

2-: זה יכול לקרות כי נקודה מסוימת שייך לאחד הקווים ישרים נתון:

במקרה האחרון, מה שאנחנו עושים זה לצייר את bisectors זווית של aangulos שני כי הם שני ישרים ולא על ידי נקודה מסוימת לצייר בניצב לקו ישר, אשר מכיל את זה יחתוך כנפיים זווית bisectors על המבוקש לאחר נקודות, מרכזי IE מעגלי.

3: בסופו של דבר אנחנו מדברים על האפשרות כי שתי השורות נתון הם מקבילים.

אנו יודעים כי מובן בין השניים ישר מנקודה A, כדי לצייר עיגול עם מרכז A, קוטר שווה למרחק בין השורות. בדרך זו נשיג המרכזים של שני פתרונות במפגש עם הממוצע מקבילים. הצבע יכול להיות גם על קו נתון כמו במקרה של הנקודה B , כך אנו מוצאים פתרון היקף מרכז כמו הצומת מאונך לכל אחת 2 ישר במקביל על ידי את הנקודה B ומדיה מקבילים.
המוצג להלן:

הבעיה השישית

בעיה זו היא לעשות טנגנס במעגל שני אחרים, שנינו נלך דרך נקודת מבוסס...יהיה לנו הפתרונות האפשריים לארבעה.

אנו רואים את נקודת מרכז ההשקעות את ארה ב, לוקח את אחד העיגולים, כמו ההיקף של autoinversion, ואז לצייר את circunferncia של נקודות כפולה.ואז מצאנו את ההיקף של inversion.las דמויות ישר ההופכי של הפתרון מעגלים משיקים circuanferencias נתון, בנוסף להכיל את נקודות ההשקה בצומת שלה עם circunferncia של נקודות כפולה.Posterioemente יש bisectors בניצב של הצירוף נקודת בהתחשב עם נקודות של tamgencia בדרך זו נוכל למצוא את הפתרון ארבעה מרכזי. סוף סוף tarzar circumferences.

הבעיה השביעית

. אנו נסביר איך הוא הטנגנס circunferncia לשתי שורות, זה בתורו ניתנת משיק אחר היקף.אנחנו יכולים לחלק את הבעיה לשני:

1- אנחנו נדבר על המקרה שבו היקף מסוים מורכבת בין השורות. הצעד הראשון הוא לבנות משני צידי אחד הקווים ישרים מקבילים למרחק השווה להרדיוס של circunferncia נתון, אז שנמצא במרכז ההיקף ביחס bisetriz של הזווית הנוצרת על-ידי שני הקווים ישרים סימטריים. הקו הישר המחבר את המרכז ואת עמיתו אחת קצרה של הקווים ישרים נמשך בכל נקודה, מנקודה זו אנו לצייר משיקים למרכז circunfercia וזה עובר דרך המקבילה של מרכז כזה. ואז לצייר עיגול עם מרכז קשת מצא נקודת ולהפוך אותו לעבור דרך הנקודות של מגע, אז מה שאנחנו מקבלים זה חתך את המקבילה מצא בית המשפט קודם על שתי נקודות, סוף סוף אנו מרימים אנך מנקודות כזה על ידי גזירה את חוצה הזווית במעי הגס, אשר להיות המבוקש לאחר circunferncias מרכזי.כדי למצוא הפתרון circunferncias שני אחרים הדבר היחיד שצריך לעשות זה לחזור על התהליך שוב עם המקבילה אחרים, לפיכך אנו משיגים את הפתרונות ארבע של הבעיה.

2- זה עלול להתרחש כי היקף נתון הוא משיק את אחד הקווים ישרים, אז לפתור את זה מתבצעת באותו אופן כמו לפני, אבל שני העיגולים פתרון מתאימות לזוג עזר חיצוני ( זה נעשה באותו אופן כמו לפני) שני הפתרונות האחרים הם מופחת במקרה שבו שני קווים ישרים נחתכים, מאחר שאנו יודעים את נקודת ההשקה של אחד מהם.

בעיה השמיני:

כאן, הבעיה של אפולוניוס נמצא נתון שני מעגלים, וקו, למצוא מעגל משיק לשני עיגולים, רצף.

המקרה מורכב, עם פתרונות שמונה, זה נפתר על ידי הפחתת במקרה של נקודה (המרכז של אחד החוגים), קו ישר (במקביל נתונה) היקף (מעגל קונצנטריים נתון). המעגלים הקונצנטריים לאחד החוגים נתון יש רדיו r r ו- r ר להיות שרדיוס של החוגים נתון, בהקבלה אל קו ישר הותוו ב r המרחק מן הקופה נתון.

כך, אלה 4 עיגולים הושגו בהתחשב מעגל קונצנטריים רדיוס r r; של circumferences ארבע, שניים מתקבלים עם אחד של המקבילה, שני האחרים עם האחר.

המעגלים פתרון ארבע מתקבלים ואילו עכשיו מעגל החד-מרכזית של r רדיוס וחדש, שני אחד המקבילה, השניים האחרים.

כאן אנו יכולים לראות את הפתרונות שמונה בדמות אותה.

הבעיה התשיעי

אנחנו הולכים לפתח את המקרה האחרון של אפולוניוס עשר בעיות לפני שהגיע הבעיה הבסיסית, במקרה זה שנסביר על circunerencia אשר עובר דרך נקודה היא משיק באותו זמן עיגול וקו ישר.

בהתאם המיקום של הנתונים שיש לנו פתרונות ארבעה, אבל במקרים מסוימים יש אין.

Relizarlo אתה חייב בצע שורה של צעדים:

1. הקו הישר היא הדמות של ההשקעה של היקף , נוכל למצוא קו בניצב לקו ולעבור דרך מרכז היקף מסוים, אז מצאנו את ההשקעה היקפו מרכז( הצבע אני בציור).
2. לצייר עיגול שרירותי זה עובר דרך נקודה מסוימת ונקודות החתך הקו שיש לנו tarzado ההיקף ואת הקו נתון.מצאנו המקביל לו נקודה מסוימת גם הציר הרדיקלי ואת מרכז רדיקלית.( נקודות P וציור P´en)
3. לצייר את אנך בין נקודות P ו- P´, שם תוכלו למצוא את המרכזים העיגולים פתרון. ואז אנחנו מסוגלים 90 ° של CR-O tarazamos קטע arc ויש זה להגדיר את מקומו של המשיק T.
4. במרכז רדיו CR ו- CR-t לגזור r ב T1 ו T2. מ T1 קו אנכי r חותך את אנך של PP’ חיתוך S1 S2 והשני בניצב T2, הפתרון שני עיגולים מרכזי.
5. בדרך זו אנו משיגים שני פתרונות.

1. על מנת לקבל את שני פתרונות אחרים, אנו חייבים לשקול את מרכז ההשקעות שלילי ולמצוא A´.לצייר arbitaria מעגל עובר דרך נקודות A, A´ ו- P מאוחר יותר כמו במקרה הנ ל אנחנו מוצאים את נקודת P´y על הציר הרדיקלי, מרכז.
2. אנו מבצעים מסוגל 90 ° הקשת קטע CR-O, קבלת את זה דרך המקום של המשיק T ו איך מעל CR ו- CR-t רדיו מרכז למצוא את נקודות ההשקה 3 ו - 4 כאשר השניים ישר נקודות.
3. נמשוך את אנך מקטע PP'. מ- T3 קו מאונך r חותך את אנך של PP' ב S3 בניצב עוד מ- T4 חותכים S4, הפתרון השני שני עיגולים מרכזי.

הבעיה העשירית.

Por último vamos a hablar del problema fudamental de Apolonio, שבו היקף חייב להיות משיק את שלושת האחרים. En este caso podemos obtener hasta ocho soluciones dependiendo la forma en la que se encuentren las tres circunferencias que nos dan. זה נעשה באופן הבא:

Lo primero que debemos hacer es hallar los seis centros de homotecia, שלוש פנימי או חיצוני 3, של שלושת המעגלים זה נותן לנו. 6 נקודות אלה הן להיות ארבע-ישר. מה שאנחנו עושים זה כדי לקחת אחד מהם ארבע-ישר ואז אנו מוצאים את העמוד לגבי שלושת המעגלים, אנחנו לאחר מכן הצטרף למרכז רדיקלית של ההיקף עם שלושה מוטות ולקבל את נקודות ההשקה הפופולרי עם החוגים עיגולים נתון.הדבר היחיד שעלינו לעשות כעת הוא לבחור בין ששת המשולשים של קשר נמצאו לאתר שני מעגלים משיקים. הליך זה עשינו עם אחד הקווים ישרים, חייבים לעשות את זה עם שלושה אחרים על מנת לקבל את הפתרונות שמונה.

בתמונה מוצג של יהיה הפתרון הסופי. . זה קצת מסובך התרגיל הזה וזה בא לידי ביטוי בציור הזה.

מידע המתקבל: “Geothesis” “Zonabarbieri” וגיאומטריה יפה.

מאמר זה נכתב על ידי הסטודנטים של המכללה של טכניקת הנדסה אווירונאוטית במהלך ניסיון של חדשנות חינוכית עם השימוש בבלוג ככלי ללמידה. להערכתי על מאמציך לסנתז את השיטות עבד בכיתה במאמר זה כבר מכובד כמעט בשלמותו, צורה ותוכן