射影幾何: シリーズの射影における相同元素の定量

私たちは射影幾何で働くことを学ばなければならない最初の問題の一つは、相同要素の決定である, 梁やシリーズおよび塩基のいずれかの規定の両方, または別々の重畳.

開始するには研究では、通常のモデルベースの​​要素として使用するための方法論を使用します “点数”, それは解釈するのが容易であるため、, 対応シリーズを基に分離されていること、さらにリレートと仮定.

そこで我々は、共通の要素を持っている2射影直列に相同な要素の決定を検討する. 問題文, 一般に, することができます:

要素の3組によって定義された2つの射影のシリーズを与えられた (点数) カウンターパート, 与えられたポイントのカウンターパートを決める.

データポイントは、どのシリーズに属することができ、我々は、したがって、他のベースに属して見える.

我々は2つ​​の射影シリーズとの間で確立するために、中間perspectividadesを使用することによって、この問題を解決します, それによって得た 2シリーズの射影軸 (ストレート と). 我々は見てきたように, シリーズの射影軸は、他の要素のいずれかから、一連の点を投影することにより、我々は入手したビームの視点軸である, そして同時に、一次スクリーニングとして使用幾何学的なカウンターパート頂点要素からの対応を予測.

2シリーズの射影軸 (遠近軸線)

させて頂きます 決定する いかなる場合でも, 従って, エル 射影軸 シリーズ.

2シリーズの射影軸の取得:

起こり得る異なるケース射影系列を定義するデータにより決定される, 原理的にすることができる:

• 相同ポイントの通常のペア (3 最大)
• 不適切な点または相同の限界点 ( 可能な2へ)
• 塩基の交点のホモログ ( 2 最大)
• 射影軸方向

私たちは、特定の問題を決定するために、これらのデータを組み合わせることができます, 我々は彼らの必要な数を持って来るたびに、. 我々は3相同要素のペアまたは同等のデータを知っていると、問題が決定されます. したがって、この最初のケースを解決する:

3シリーズのポイントとの対応を考えると, 同シリーズの射影軸を決定

データは、点Aである, BとCとその対応するタイポイ​​ントのA ', B’ のy C '. 基地M = Nの交点’ シリーズのそれぞれの点が含まれている.

射影軸を決定するために、同じ内のポイントのカップルを必要とする. つの相同光線の交点が遠近つの頂点に相同な点の対ビームこれらを決定することができる.

ポイント “1” AおよびAから突出して得られる2種の相同線ビームの交点と考えることができる’ 点BおよびB ', しかし、我々はまた、ビームの頂点がBとBであることを理解することができます’ 及び投影点A及びA '.

軸は、前の点と点によって決定されている “2” 以前と同様にして得られる, カウンターパートBと点BとCを関連付けるために’ のy C '.

塩基の交点の相同体は、塩基の各々と投影軸の交点である. これらの要素は、任意の不明点はXのように得ることができる.

同様の要素を取得する

射影軸を使用すると、任意の時点の相手方を決定することは容易である; たとえば、我々はポイントのカウンターパートを取得.

我々は、要素Aとそれに対応するA'y射影軸シリーズが残っている。図を簡単にするために.

私たちは、Aから突出する場合’ ポイント, 生成された稲妻と彼のカウンターパート (頂点ビーム) 射影軸方向に切断した (ポイント “3”). 線の対応は、要素が含まれている (X ') 求め.

境界要素

同様に、X点のために見た場合と, 我々は、いわゆるを得ることができる “限界点” ホモログは、不適切なシリーズのポイントである (無限遠点). 次の図は、そのうちの1のカウンターパートが決定される示しています, Sシリーズ用の不適切な. 一連の点から突出する突起は、頂点を通過する一連の平行線を得るために制限される. 射影軸とこの線の交点 (ポイント 4) あなたは透視線ビームの対応を得ることを可能にし、その結果点が求められる.

Ejemplos

調査を完了するために、いくつかの提案された概念を強化する例を示しました.

シリーズの射影軸と、次の例のポイントの1のホモログを決定:

へ)

B)

例: Proyectividad entre series rectilíneas (Geogebra)

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