射影幾何: Perspectivity

射影基礎は」の定義に基づいています要素の順序付きトリプル"そして、 “四元 つまり、複比の概念を確立する“, と呼ばれる関係 “視点” 同一または異なる性質の要素間.

このような観点関係, すなわち、突起表現系を決定する際に使用される, 2射影演算子から定義:

• 投影
• セクション

プロジェクト 頂点から V 直線シリーズ S, アラインされた点の集合によって形成される A, B, C言語 …. ビームはまっすぐで入手 へ, B, C言語 … 投影の中心を頂点 V.

セクション ストレート S 同時のラインの束 へ, B, C言語 …頂点 V, アラインされた点の直線シリーズを得ることである A, B, C言語 ….ストレートベース S.

私たちは、幾何学的形状のこれらの4つの要素を取る場合 (シリーズと直線を作る) 私たちはあなたの財産の特定の値を持つ要素の四倍を決定することができます, 我々が研究を定義しているように 注文した商品の四倍. この値は、, 説明したように, 点線でクォータニオンの場合に同じであり、投影又は断面は、他のものである場合. すなわち:

(ABCD) = (ABCD)

単一のビームの4行の複比, 点の数は、ビームの任意の頂点が含まれていない直線部分として得られる.

同様に、私たちは二重の定理がある:

同じシリーズの4点の複比, これは、シリーズのベースが含まれていない任意の地点からまっすぐ投影として得られる.

私たちは、あなたが別のを投影している場合は、ラインと光が遠近セクションであるかと言う.

私たちは、同じクラスのフォーム間配景、したがって最初の定義が、異なる性質の (ストレートポイントVS).

我々は2つ​​のビームまたは2シリーズとの間で同様の概念視点を確立することができます?

ビームストレート配景.

我々は2つ​​の同一平面上のビーム間配景の異なる定義を与えることができますストレート.

異なる頂点の二つのビームストレート, V Y V', 視点は互いにある, 共通セットの投影として得ることができるように.

と: 遠近軸

頂点VとVから突出したとき’ 点数 (ABC…) 共通ビームを有する二つのビームが得られる一連の遠近 ( D = D '), それは四元関連する要素が同一であることを保持するように:

(ABCD) = (ABCD) = (A'B'C'D ')

• 頂点VとV 'のビームが持つ遠近いる 遠近軸 ストレートとサポート (ベース) シリーズの突出.
• 各ビームライン頂点Vとそのビーム相同頂点V ' カット その軸上.
• 梁 'ベースのVとVを含む'を要素D = D, デュアルエレメントである

ポイントのセット間の配景.

すべての定理のように私たちは射影幾何で確立することができます, 決定1デュアル変える要素を取得することができます. そう, 一連の点の場合はストレートビームに与えられたものと同様の定義を見つけるspectivity:

異なる塩基の一連の点の, S Y S', 見通しはお互いです, 単一のビーム部として得ることができるように.

V: 中央の視点

ストレート、RおよびRで切片上’ 日光 (ABC…) 共通点を持っているシリーズの2視点が得られるん ( D = D '), それは四元関連する要素が同一であることを保持するように:

(ABCD) = (ABCD) = (A'B'C'D ')

• 基底 R Y R「見通しである 中央の視点 点Vのサポート (頂点) 切片ビーム.
• 彼らの同族列ベースR RY基盤の一連の各点’ その中央に投影.
• 要素は、D = Dシリーズ」は、ベースR rを含む ', デュアルエレメントである

平面上の二重性

我々は、点をリンクし、ストレート面からプロパティや定理の間に二重性があることが参照してください。, 単語点と平面のステートメントを変更することにより、互いから得ることができる, と投映操作部による.

上記をまとめると, 我々は上記のが簡単になります簡単な図を提示することができます. 我々は視点の射影を理解するために関係の後に重要性が表示されます.

射影幾何