度量幾何 : Homotecia

轉換 - homotecia

該 homotecia 是 transformacion homográfica que conserva las relaciones de medida entre cada par de segmentos homotéticos u homólogos.

Conserva el paralelismo entre una línea y su transformada, 什麼決定了這些數位和保持角的關係嗎 (在整合).

Su principal aplicación en geometría es la determinación de problemas con relaciones de áreas en figuras semejantes; también es de utilidad para la resolución de algunos ejercicios de tangencias.

Dos figuras semejantes tienen la misma forma y diferente área

Homotecia

Se basa en los conceptos de semejanza que vimos en el teorema de Thales; no es una transformación involutiva y no puede tener elementos dobles salvo el centro. Pertenece al grupo de las transformaciones afines.

Definición de la transformación

La homotecia es una transformación con centro. Esto significa que un punto y su transformado se encuentran alineados con el centro de homotecia o semejanza, de forma análoga a la transformación conocida como inversión que se verá posteriormente.

La relación entre las posiciones relativas de cada punto y su transformado respecto del centro de homotecia se basan en el concepto de semejanza.

Dado un centro “ħ“, y un par de puntos homólogos “P” 和 “P’“, 在 cociente de las distancias de estos puntos al centro de homotecia es constante y se denomina razón de homotecia.

HP / HP’ = HQ / HQ’ = HT / HT’ = K

Circunferencias homotéticas

Centros de homotecia entre dos circunferencias

Relacionar mediante esta transformación dos circunferencias es de especial interés para su aplicación en los problemas de tangencias, así como para el posterior estudio de otra transformación: 投資.

Si suponemos que dos circunferencias son homotéticas, los puntos situados sobre radios paralelos deben ser homólogos. Dependiendo del sentido del radio tendremos transformaciones de razón positiva (los dos radios en el mismo sentido) o negativa (diferente sentido). Los centros positivo, H+, y negativo, ħ-, deben encontrarse sobre las rectas que unen cada par de puntos homólogos (A-A’) así como en la línea que une los centros de las circunferencias ya que también son homotéticos.

Centros de homotecia de dos circunferencias 1

Podemos ver como en algunas posiciones particulares alguno de los centros de homotecia puede estar situado sobre las propias circunferencias, como es el caso en el que éstas son tangentes entre sí.