Metrische Geometrie : Bestimmen Radio Umfänge bekannt Winkelbedingungen

Probleme der Bestimmung mit bekanntem Radius Kreise, die geometrischen Randbedingungen zu erfüllen sind Übungen ähnlicher Art, mit denen für gerade gesehen.

Estos problemas se resuelven mediante la intersección de lugares geométricos.

Besonders, wenn wir die Linie als unendlichen Radius Umfang betrachten, estaremos por tanto en el caso estudiado de determinación de rectas con condiciones angulares.

Condición angular respecto de rectas

Iniciaremos el análisis con condiciones de tangencia (ángulo cero) para determinar el lugar geométrico de centros de circunferencias de radio conocido que son tangentes a una recta r. Posteriormente generalizaremos estos lugares geométricos para cualquier ángulo de incidencia.

Para determinar una circunferencia necesitaremos tres restricciones geométricas. En el problema propuesto tendremos como datos el radio de la circunferencia y la condición de tangencia, quedando un grado de libertad para definir dicha circunferencia.

Tendremos por tanto infinitas soluciones y, entsprechend, un lugar geométrico para sus centros.

Supongamos que buscamos la que pasa por un punto T de tangencia concreto en la recta r. El centro O se encontrará en la perpendicular a r por el punto T, a distancia R (radio de la circunferencia). Si desplazamos el punto T a lo largo de r encontraremos los infinitos centros de las soluciones y, entsprechend, el lugar geométrico de sus centros LG es una recta paralela a la anterior a distancia R.

Lugar geométrico centros de circunferencias tangentes a recta

En realidad tendremos dos posibles lugares geométricos, ya que la distancia R que hemos tomado desde el punto de tangencia T se puede llevar en los dos sentidos sobre la dirección perpendicular.

Centros de circunferencias de radio conocido tangentes a una recta

Si en lugar de considerar una restricción de tangencia usamos una condición angular, el problema no difiere mucho.

Determinaremos una solución (la que pasa por un punto P) y generalizaremos el lugar geométrico. Dazu, Punkt P buscaremos una recta t que forme con la recta r la condición angular. Esta recta t será la tangente a la circunferencia en el punto P y su centro se encontrará en la perpendicular a ella y a distancia R.

Auch hier finden wir zwei gerade wie möglich Loci für mögliche Lösungen Zentren.

Zentren Vorfälle Umfänge gemäß einem gegebenen Winkel mit einer geraden

Bedingung Winkel bezüglich Kreise

Wenn die Bedingung in Bezug auf einen Umfang abgewinkelt, Das Verfahren zur Bestimmung der Ortskurve der Mittelpunkte ähnelt. Wir eine Lösung, die durch einen Punkt des Kreises zu suchen und zu bestimmen, die Orts.

Wenn die Bedingung Tangenten, an einem Punkt T festzustellen, jede Tangente t und finden Sie den Achsabstand R in der Richtung senkrecht zu der Tangente. Wir sehen, dass in diesem Fall geometrische sie sind Orte der konzentrischen Kreisen, mit denen wir als gegeben gegeben, c, Radien der Summe oder Differenz der Radien c und Wert R.

Funkzentren gegebenen Umfang tangential zu einem Umfang

Wenn die Bedingung jeder Winkel bestimmen wir die Tangente c an einem beliebigen Punkt P und eine Linie, die durch diesen Punkt und die gegebenen Winkel bilden. Diese Linie wird tangential zu der Lösung, die wir suchen und finden ihr Zentrum in dem senkrechten Abstand R.

Umfang gegebenen Radius um einen Winkel mit einem anderen Kreis

In der obigen Abbildung ist nur dann gegeben, einer der beiden Loci wurden. El otro lo obtendríamos trazando una recta con la condición angular en el otro sentido.

Notese que la condición de paso por un punto es lo mismo que considerar que la circunferencia dato tiene un radio nulo, de forma análoga a pensar que una condición respecto de una recta es suponer que el radio es de longitud infinita.

Anwendung zur Problemlösung

Podemos resolver diferentes problemas en los que se conoce el radio de la circunferencia buscada mediante la intersección de los lugares geométricos que hemos visto. Necesitaremos imponer dos condiciones geométricas adicionales para completar el problema:

• Que pasan por dos puntos
• Que pasan por un punto y son tangentes a una recta
• Que pasan por un punto y son tangentes a una circunferencia
• Que pasan por un punto y forman un ángulo con una recta
• Que pasan por un punto y forman un ángulo con una circunferencia
• Que son tangentes a dos rectas
• Que son tangentes a dos circunferencias
• Que son tangentes a una recta y una circunferencia
• Que forman un ángulo con una recta y son tangentes a otra recta
• Que forman un ángulo con una circunferencia y son tangentes a otra gerade
• Que forman un ángulo con una recta y otro con otra recta
• Que forman un ángulo con una circunferencia y otro con otra recta
• Que forman un ángulo con una circunferencia y otro con otra circunferencia

Intersección de lugares geométricos

Veamos por último un ejemplo de aplicación de los enunciados en los que apliquemos la intersección de estos lugares geométricos en su resolución.

Betrachten Sie das folgende Problem:

Determinar las circunferencias de radio conocido que son tangentes a una recta y a una circunferencia

Loci. Enunciado del problema

Con la condición de tangencia y el radio dado obtendríamos los lugares geométricos correspondientes.

Obtenemos lo lugares geométricos

Determinamos los puntos de intersección de dichos lugares geométricos que serán los centros de las circunferencias buscadas

Soluciones mediante la intersección de los lugares geométricos

Vemos que el número de soluciones depende del número de puntos de intersección, consecuencia de las posiciones relativas de los datos.

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