פּאַראַלעל שורות ינערסעקט בייַ ומענדיקייַט, ¿די מיטאָס רעאַלידאַד?

איינער פון די כאַרדאַסט קאַנסעפּס צו אַסימאַלייט אין דער ערשטער קלאסן פון פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי איז די ימפּראַפּער פונט. א punto impropio es un punto que se encuentra en el infinito y que podemos traducir o interpretar como una dirección.

בשעת מעטריק דזשיאַמאַטרי צוויי שורות ינערסעקט אָדער זענען פּאַראַלעל, אין פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי שטענדיק ינערסעקט בייַ אַ פונט געהעריק אָדער ימפּראַפּער, וואָס טוט ניט ענדערונג אין קיין וועג די אָפּעראַציע מיט דעם דזשיאַמעטריק-מאַטאַמאַטיקאַל מאָדעל.

Mis alumnos han querido destacar este aspecto en sus דזשאָבס און, en la experiencia de innovación educativa en la que desarrollamos en blogs la asignatura, nos ofrecieron este curioso artículo. די גרופּע “Proyectando-ando” hizo gala a su nombre:

פּאַראַלעל שורות ינערסעקט בייַ ומענדיקייַט, ¿די מיטאָס רעאַלידאַד?

Siempre hemos escuchado que dos rectas paralelas son aquellas que por mucho que se prolonguen nunca llegan a cortarse, pero también conocemos el concepto de que dos rectas paralelas se cortan en el infinito. ¿Cual de estas dos afirmaciones es verdadera? A continuación intentaremos dar respuesta al dilema ante el que nos encontramos.

¿ Rectas paralelas ?

Euclides fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del 300 אַ.ק. Se le conoce como “El Padre de la Geometría” y fue el creador de la geometría que lleva su propio nombre.

די geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. La presentación de ésta se hace mediante un sistema de axiomas que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas eran auto-evidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. אָבער, el quinto postulado resultó que si bien es compatible con los otro cuatro, es en cierto modo independiente. ניימלי, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido se llaman geometrías no-euclidianas.

En el Renacimiento las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas. Al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de geometría que ésta implica: די פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי, cuyos principios fundamentales aparecen en el siglo XVII:

• Dos puntos definen una recta.
• Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).

A través de estos dos principios podemos obtener la respuesta a nuestra pregunta. La diferencia que encontramos está en el quinto postulado de Euclides (de las paralelas); que dice: “por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada”. Este axioma, en proyectiva acabamos de ver que no existe, de modo que no existen las “paralelas”; todas las rectas son secantes, ניימלי, se cortan en un punto. דעריבער, aparece el concepto de punto impropio (marcado con el subíndice infinito; ya que no lo representamos en un lugar concreto como los demás puntos); que vendría a determinar la “dirección” de la recta. Todas las rectas que -euclideanamente- serían “paralelas”, proyectivamente se cortan en un mismo punto impropio y a su vez todos los puntos impropios de un plano determinan una recta impropia, única en ese plano.

A pesar de que lo acabamos de enunciar, a modo de conclusión la respuesta a nuestra pregunta de si las rectas paralelas se cortan en el infinito es la siguiente: LAS RECTAS PARALELAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA SE CORTAN EN EL INFINITO, PERO BASANDONOS EN LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA LAS RECTAN NO LLEGAN A CORTARSE NUNCA.

פּראָדזשעקטיווע געאָמעטרי