사영 기하학: 요소의 순서가 트리플

요소의 순서가 트리플

La geometría métrica se fundamenta en el conocido teorema de pitágoras. Todas los teoremas se deducen a partir del concepto de medida que se deriva de los triángulos rectángulos.

De forma análoga, la geometría proyectiva se basa en otro importante teorema, el teorema de Thales, que en lugar de un concepto métrico establece la noción de relación de medidas, como invariante proyectivo.

Concepto de ternas de elementos

Tres elementos pertenecientes a una forma de primera categoría determinan una terna.

En el caso de usar los elementos puntos, entonces diremos que tres puntos determinan una terna ordenada de puntos.

Los elementos pueden ser tanto puntos como rectas o planos, incluso se podrían generar ternas de hiperelementos en geometrías más complejas.

Para representarlo simbólicamente usamos la siguiente notación:

• Terna de puntos: (ABC)
• Terna de rectas: (ABC)
• Terna de planos: (αβγ)

La terna tiene un valor numérico o característica asociado que implica la ordenación de los términos que la forman.

• (ABC) = AB/AC = λ. [Ec. 1]
• (ABC) = sen(ab)/sen(ac) = λ. [Ec. 2]
• (αβγ) = sen(αβ)/sen(αγ) = λ. [Ec. 3]

Ternas ordenadas de puntos

Se define el valor de una terna ordenada de tres puntos como el cociente entre dos longitudes, la del segmento formado por el primer y segundo punto de la terna y el segmento formado por el primer y el tercer punto:

Ec. 1

Los segmentos pueden tener signo. El sentido del segmento AB es contrario al del BA, o lo que es lo mismo, AB = – BA

Conceptualmente se puede entender una terna como la medida de un segmento tomando como unidad el otro.

예를 들면, si B es el punto medio del segmento AC, shortlisting (ABC) = 1/2. El segmento AC actúa como unidad de medida.

Ternas ordenadas de rectas

Se define el valor de la terna ordenada de tres rectas como el cociente entre dos senos, el del ángulo formado por las dos primeras rectas y el que determina la primera y tercer recta:[Ec. 2]

Ec.-2

Tres rectas de un haz de vértice V, y los tres puntos de una serie sección del haz por una recta se pueden relacionar mediante los valores de sus ternas.
Este valor o característica de la terna es un elemento fundamental para clasificar las proyecciones, de forma que aquellas en que es invariante gozan de propiedades comunes e independientes del tipo de proyección.

그림 2.- Relacion entre ternas de puntos y rectas

Al proyectar ortogonalmente los puntos B y C de la rerie rectilínea sobre la recta a de la Fig.1, se obtienen los puntos B’ y C’. Los triángulos ABB’ y ACC’ son semejantes 그 때문에, aplicando las relaciones según el teorema de Thales:

(ABC) = sen(ab)/sen(ac) = λ [Ec. 2]

El valor del seno del ángulo que forman las rectas a y b así como el formado por las rectas a y c será:

Ecuaciones de ángulos entre rectas

Si se sustituyen estos últimos valores en la [Ec. 2] tendremos:

ecuación 6. Relación entre ternas de puntos y rectas

Por tanto, 일반, (ABC) ≠ (ABC), el valor de una terna de rectas es diferente del de una terna de puntos que la secciona.

Si seccionamos un haz de rectas por dos rectas no paralelas, las series determinadas son perspectivas entre sí, aunque las ternas de puntos no tienen la misma característica.

Un ejemplo es la proyección cónica desde un punto V.

Fig.-3 Perspectividad entre series

Para que sean iguales las dos ternas es necesario que el cociente VC/VB sea igual a la unidad. Esto se consigue cuando el vèrtice es un punto impropio, o cuando las rectas que seccionan son paralelas.
Esto permite obtener interesantes propiedades en las proyecciones de naturaleza cilíndrica (vértice impropio) y en las proyecciones y, o, secciones por rectas o planos.

Cuando el vértice 에 del haz de rectas se encuentra en el infinito, el término VC/VB 의 [Ec. 6] tiende a la unidad, por lo que la terna de puntos tiene igual valor que la terna de rectas.

Fig.-4 Conservación de la razón simple en secciones por rectas paralelas Al seccionar tres rectas de un haz de vértice impropio (평행한 선, 그림의 b와 c ), 따라서 단면에서 발생하는 서로 다른 삼중점은 동일한 값이나 특성을 갖습니다.. 이 경우는 원통형 투영으로 알려진 투영에 해당합니다., 투영면에 대해 직교 또는 비스듬한 방향으로 투영되는 경우, 또는 도면 계획.

무화과.- 5 평행선에 의한 단면의 간단한 비율 보존 Al seccionar tres rectas de un haz de 자신의 정점 (평행한 선, 그림의 b와 c ), 따라서 섹션에서 발생하는 서로 다른 세 개의 포인트는 동일한 값을 갖습니다.. 이 경우는 평행하고 동질적인 평면이나 직선의 원뿔 투영에 해당합니다..

원통형 투영의 단순 비율 보존:

투영 모델은 표현 시스템 연구에 매우 유용할 수 있습니다.. 다양한 표현을 얻기 위해 요소가 투영 평면에 투영됩니다..

이 과정에는 두 가지 투영 연산:

• 우리는 투영한다 한 점
• 우리는 섹션 투영 평면을 통과하는 결과 광선.

예를 들어 투영 용어를 사용하여 요소 투영 개념을 정의할 수 있습니다..

• 한 점을 다른 점에서 투영하는 것은 두 요소 모두에 속하는 선을 정의하는 것입니다. (스트레이트 시리즈)
• 점에서 선을 투영하면 두 요소 모두에 속하는 평면을 정의합니다. (똑바로)
• 점에서 평면을 투영하는 것은 점과 평면의 점/선에 속하는 선/평면 세트를 정의하는 것입니다. (선/면의 방사)

Al proyectar los elementos, el centro de proyección puede ser:

• Propio
• Impropio

En el caso de una proyección con centro impropio (o también denominada proyección cilíndrica), se conserva la razón simple en las ternas de rayos proyectantes.

(AMB) = (A’M’B’)

무화과.- 7 Proyección del punto medio de un segmento en proyección cilíndrica.

La proyección del punto medio, por tanto, se corresponde con el punto medio de la proyección.

Este resultado es de gran utilidad en numerosos problemas en que la relación entre sus partes, su geometría, es conocida.

Por ejemplo la obtención de la proyección del baricentro de un triángulo se puede limitar de nuevo a localizar el baricentro del triángulo proyectado.

Sistemas_de_representacion

사영 기하학