Проективная геометрия: Упорядоченных троек элементов

Упорядоченных троек элементов

Метрической геометрии на основе известных Теорема Пифагора. Все теоремы выводятся из понятия измерения, которая вытекает из права треугольники.

Аналогично, проективной геометрии основан на еще одной важной теоремы, el Теорема Фалеса, Вместо устанавливает метрические понятия концепции отношений меры, проективный инвариант.

Концепция троек элементов

Три элементов в первоклассный способ определения внутренний.

В случае с использованием элементов пунктов, то говорят, что три точки определяют точку упорядоченная тройка.

Элементы могут быть прямыми или плоские пятна, как, hiperelementos даже может генерировать тройки сложной геометрией.

Чтобы символически использовать следующие обозначения:

• Тройки пунктов: (Азбука)
• Терна прямой: (азбука)
• Терна планирует: (азбука)

Трио имеет числовое значение или особенность связанные руководство, включающее термины, которые образуют.

• (Азбука) = AB/AC = λ. [ЕС. 1]
• (азбука) Ее =(от)/его(переменный ток) = L. [ЕС. 2]
• (азбука) Ее =(AB)/его(переменный ток) = L. [ЕС. 3]

Упорядоченных троек точек

Определим значение трехточечные упорядоченная тройка как отношение двух длин, сегмент, образованный первым и вторым точки триплет и сегмент образован первый и третий пункты:

ЕС. 1

Сегменты могут быть подписаны. Направление АВ противоречит BA, или, что то же, AB = – BA

Концептуально можно понять, шифер, насколько единичный отрезок другой.

Например, Если В середине AC, триплет (Азбука) = 1/2. AC сегмент действует как единица измерения.

Упорядоченных троек линий

Это определяет значение упорядоченной тройки три прямые как отношение между двумя груди, Угол, образованный первые две строки и определяет первый и третий прямой:[ЕС. 2]

Ec.-2

Три прямой луч вершин V, и три точки из серии сечения пучка по прямой может быть связан со значениями его троек.
Это значение является характеристикой триплет имеет фундаментальное значение для ранга прогнозы, так, что она инвариантна тех насладиться общие свойства независимый тип проекции.

Рисунок 2.- Отношения между тройками точек и линий

Проектируя ортогонально точки В и С rerie прямолинейного прямо на рис.1, Получены точки B 'и C'. Треугольники АББ и АКК подобны таким образом, отношений путем применения теоремы Фалеса:

(азбука) Ее =(от)/его(переменный ток) = L [ЕС. 2]

Значение на синус угла, образованного линии а и б, а также, что образованный линиями и С:

Углы между прямыми уравнений

В последнем случае значения заменяются в [ЕС. 2] мы:

уравнение 6. Отношения между тройками точек и линий

Поэтому, в целом, (Азбука) ≠ (азбука), значение из списка линий отличается от списка точек, что секционные.

Если секционного прямо на балки двумя линиями непараллельными, определенных серий вперед вместе, хотя никакой точки триады имеют те же характерные.

Одним из примеров является коническая проекция из точки V.

Рис-3 перспективности между сетами

Чтобы быть равна двух триад, необходимо, чтобы соотношение VC / VB равна единице. Это достигается, когда вершина является точкой неправильного, или когда линии параллельны секционного.
Это позволяет интересными свойствами в цилиндрической проекции природы (неправильное вершины) и прогнозы, а, o, прямо или плоских секций.

Когда вершина V прямой луч находится на бесконечности, термин VC / VB de la [ЕС. 6] стремится к единице, так что список точек равна тройной линий.

Рис-4 состояние простой причине, для параллельных прямых участках В разделе три линии пучка неправильное вершины (линии, параллельные, В и С на рисунке ), различным тройкам точек результаты в разделе, следовательно, имеют то же значение или характеристика. Этот случай соответствует проекции известны как цилиндрической проекции, в который проецируется в направлении, перпендикулярном или под углом к ​​плоскости проекции, или плоскости чертежа.

Рис.- 5 Сохранение простой причине, для параллельных прямых участках В разделе три линии пучка вершиной собственного (линии, параллельные, В и С на рисунке ), различным тройкам точек результаты в разделе, следовательно, имеют то же значение. Этот случай соответствует конической проекции на самолетах или линии, которые параллельны и homotecias.

Сохранение простой причине Цилиндрические проекции:

Проективная модель может быть очень полезным при изучении систем представления. Различные представления для выступающими элементами на плоскости проекции.

Этот процесс включает использование две операции проективные:

• Мы планируем точка
• Sectioned Полученный пучка в плоскости проекции.

Мы используем термин проективная например, определить понятие проекция элемента.

• Проектирование точки от другой заключается в определении линии принадлежит к обоим элементам (Серия прямолинейных)
• Спроецировать линию от точки до плоскости определить которое принадлежит обоим элементам (Исправьте)
• Проектирование самолета из одной точки для определения набора линий / самолеты, которые принадлежат точки и точки / линии плоскости (Излучение от прямой / плоская)

При проектировании элементов, Центр проекции может быть:

• Собственный
• Неправильный

В случае проекции с неправильным центр (или также называется цилиндрической проекции), сохраняет той простой причине, проектирующих лучей троек.

(С) = (A'M'B ')

Рис.- 7 Проекция середины сегмента цилиндрической проекции.

Проекцией середины, поэтому, соответствует средней точке проекции.

Этот результат является полезным в многочисленные проблемы в том, что отношение между частями, геометрия, Известно.

Например получения проекции центра тяжести треугольника может быть ограничена снова, чтобы найти центр тяжести проецируемого треугольник.

Sistemas_de_representacion

GEOMETRIA Proyectiva