Cualquiera de los problemas de tangencias que se engloban bajo la denominación de “problemas de Apolonio” puede ser reducido a una de las variantes estudiadas del más básico de todos ellos: די פונדאַמענטאַל פּראָבלעם פון טאַנגענץ (פּפט).
En este caso vamos a estudiar el que denominamos “Caso de Apolonio ccc“, ניימלי, el caso del problema de tangencias en el que los datos vienen dados mediante condiciones de tangencias a tres circunferencias (ccc).
Los ejes de una cónica son aquellos diámetros polares conjugados que son ortogonales entre si.
Recordaremos que dos diámetros polares conjugados, que pasarán necesariamente por el centro O de la cónica, son las polares de dos puntos impropios (situados en el infinito) que sean conjugados, ניימלי, que la polar de cada uno de esos puntos contiene al otro.
Estas parejas de elementos determinan una involución de diámetros (polares) conjugados que quedará definida cuando conozcamos dos parejas de rayos y sus correspondientes homólogos.
Hemos resuelto la determinación de una cónica definida por sus dos focos y un punto mediante la circunferencia focal de la cónica.
Un problema que usa idénticos conceptos es el de la determinación de una cónica conocidos sus focos y una de sus tangentes. Veremos este problema en el caso de una elipse.
El concepto de polaridad se encuentra ligado al de separación armónica.
Este concepto es básico para la determinación de los elementos fundamentales de las cónicas, como su centro, diámetros conjugados, ejes ….
Permitirá establecer nuevas transformaciones entre las que se incluyen homografías y correlaciones de gran importancia.
En geometría hablamos con mucha frecuencia con términos que, אין עטלעכע פאלן, no están suficientemente popularizados en el lenguaje cotidiano. Ello lleva a crear barreras en la interpretación de algunos conceptos sencillos.
Uno de los términos que más veces me han preguntado en clase es el de “Involución”. Definamos la involución.
¿Qué es una involución?
Vamos a resolver un sencillo problema planteado anteriormente en el que deberemos determinar un lugar geométrico básico para la determinación de su solución, un problema en el que hay que encontrar un punto del plano que cumpla unas condiciones geométricas dadas.
La intersección de dos lugares geométricos planos nos determinará un número finito de puntos que serán las posibles soluciones del problema.
Las técnicas de solución de problemas basadas en la intersección de lugares geométricas se suelen asociar a problemas sencillos de la geometría clásica.
En estos casos es el planteamiento de la solución lo que entraña la mayor complejidad, ya que los lugares geométricos derivados suelen ser elementos geométricos sencillos.
Determinar un punto P desde el que se observe bajo el mismo ángulo a los tres lados de un triángulo ABC.
Vamos a resolver el problema de determinar un cuadrado, cuyos vértices se encuentran sobre elementos geométricos dados.
En particular fijaremos los correspondientes a una de sus diagonales sobre una recta, otro de los vértices en una recta diferente y el cuarto vértice sobre una circunferencia.
Los problemas básicos de geometría métrica tienen una especial belleza. Son adecuados para introducir a los alumnos en el arte del análisis en esta disciplina.
Uno de los problemas propuestos en el examen de Selectividad de Septiembre de 2014 plantea la obtención de una figura geométrica simple, un cuadrado, cuyos vértices se encuentran sobre elementos geométricos dados.
דורך רייזינג די אַרויסגעבן פון די בעקן טיש, אַז איז צו שלאָגן איינער פון די צוויי באַללס אַז ביסט אויף די טיש (א למשל) , אַזוי אַז עס ימפּאַקס די אנדערע (la B) פריער געגעבן אין איינער פון די באַנדס (עדזשאַז) טיש, פליפּינג די פארמאכט פּראָבלעם צו אַ פּשוט אָפּשפּרונג פאַל.
מיר קענען דזשענעראַלייז די פּראָבלעם קאָנסידערינג אַז איר קענען געבן, איידער פּראַל מיט די רגע פּילקע, אַ געגעבן נומער פון ימפּאַקס מיט די באַנדס (לאַטעראַל עדזשאַז) טיש.
דזשיאַמעטריק פיגיערז קענען זיין קאַמפּערד מיט יעדער אנדערע דורך דערמאָנען פֿאַר דעם פאַרגלייַך ביידע זייַן פאָרעם און זייַן גרייס.
באַזירט אויף די פאַרשידענע קאַמבאַניישאַנז אַז קענען זיין געפונען אין די קאַמפּעראַסאַנז וועט קלאַסיפיצירן אין:
ענלעך פארמען: האָבן די זעלבע פאָרעם אָבער פאַרשידענע גרייס
עקוויוואַלענט פארמען: זיי האָבן פאַרשידענע אָבער גלייַך גרייס (באַנד פון די געגנט)
קאָנגרוענט שאַפּעס: האָבן די זעלבע פאָרעם און גרייס (זענען גלייַך)
קוילעלדיק, צו קריגן אַ פאָרעם עקוויוואַלענט צו אנדערן געגעבן, נוצן אַ עקוויוואַלענט קוואַדראַט ווי ינטערמידייט צווישן צוויי עקוויוואַלענט פיגיערז. אַזוי, ערשטער דיסקוטירן ווי צו קריגן אַ קוואַדראַט עקוויוואַלענט צו אַ דזשיאַמעטריק פיגורע.
