Geometría métrica : Teorema de Pitágoras

La geometría métrica se fundamenta en el conocido teorema de Pitágoras, que establece la relación métrica entre los lados de un triángulo rectángulo.

El concepto de medida del espacio euclídeo lo adopta en su definición de distancia, y las relaciones geométricas derivadas son de suma importancia.

A pitágoras debemos otros teoremas menos conocidos, así como el reconocimiento a la escuela de geómetras que creó, de la que hoy nos beneficiamos todos.

Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 – 507 a. C., en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος) fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no solo a Pitágoras. Su escuela afirmaba «todo es número», por ello, se dedicó al estudió y clasificación de los números.(W)

Enunciado del Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.(w)

Existen diferentes demostraciones de este importante teorema que es la base de la geometría métrica.

El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C.Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c (W)

Matemáticamente se puede enunciar con la siguiente ecuación:

Esta ecuación expresa que el área de un cuadrado de lado “a” es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados, uno de lado “b” y otro de lado “c”. Si denominamos “a” a la hipotenusa (lado más largo) de un triángulo rectángulo y “b” y “c” a los catetos, gráficamente se puede representar con la siguiente figura.

Para demostrar que esta ecuación se cumple, usaremos dos nuevas figuras obtenidas a partir de cuadrados de lado “b+c”. En el primero se dibuja un cuadrado inscrito de lado a cuyo área será el cuadrado de este lado. Para completar el área del cuadrado del que hemos partido deberemos añadir cuatro triángulos rectángulos iguales (azul claro).

En la figura de la derecha se han formado dos cuadrados, uno de lado “b” y otro de lado “c”. Para completar el área total se necesitan de nuevo cuatro triángulos rectángulos, lo mismo que en el caso anterior, lo que permite asegurar que el cuadrado de lado “a” tiene un área igual a la de la suma de los otros dos cuadrados.

Esta demostración tiene el encanto de ser muy gráfica y sencilla, sin apenas operaciones matemáticas.

Propiedades del triangulo rectángulo

Hay dos propiedades del triángulo rectángulo (un ángulo es recto) que tienen especial importancia para el desarrollo de conceptos más elaborados como son los de potencia e inversión que permiten desarrollar los modelos que analizan las tangencias Son los denominados teoremas de la altura y del cateto.

En la figura se ha representado un triángulo rectángulo que reposa sobre su hipotenusa. La altura del triángulo es la distancia del vértice “A” a la hipotenusa (su base).

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Teoremas del cateto y de la altura.

Ambos teoremas se basan en el conocido teorema de Thales, que establece una relación entre los lados de dos triángulos semejantes.

Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercero también lo es. Esto es así ya que la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre son180º sexagesimales.

Para demostrar que dos triángulos son semejantes basta con demostrar que tienen dos ángulos iguales.

En la figura anterior podemos encontrar tres triángulos semejantes: ABC, ABH y HCA. Los tres triángulos tienen un ángulo recto, y dos a dos comparten un ángulo, luego el tercero vale lo mismo.

Podemos por tanto, aplicando Thales, establecer algunas igualdades como:

BA/BC = BH/BA o AH/HC = BH/AH

siendo BA la distancia entre los puntos A y B etc.

Los siguientes teoremas se obtienen directamente de las relaciones anteriores:

Ejemplo de aplicación teorema del cateto

Ejemplo de aplicación del triángulo rectángulo

El punto “H” se denomina pie de la altura hc

H divide a la hipotenusa en dos segmentos.

En este caso se ha utilizado incorrectamente la designación de los vértices del triángulo, ya que se debe usar la letra “A” para el que contiene el ángulo recto.

Recuerda que debes identificar gráficamente los segmentos que se relacionan con la figura.

El interés es formar gráficamente de forma que las expresiones matemáticas no sean el nucleo formativo. Las construcciones gráficas son las que deben primar en un aprendizaje de la geometría básica para poder alcanzar altos niveles de abstracción.

Curso de Geometría Métrica

Este artículo está dedicado a la memoria del profesor D. Victorino González García, maestro de maestros, que me inculcó su amor por la geometría.

Geometría métrica