Cualquiera de los problemas de tangencias que se engloban bajo la denominación de “problemas de Apolonio” puede ser reducido a una de las variantes estudiadas del más básico de todos ellos: el problema fundamental de tangencias (PFT).
En todos estos problemas nos plantearemos como objetivo fundamental reducir el problema que se proponga a uno de estos casos fundamentales, mediante el cambio de las restricciones que lo definen a otras basadas en conceptos de ortogonalidad.
En este caso vamos a estudiar el que denominamos “Caso de Apolonio rcc“, es decir, el caso del problema de tangencias en el que los datos vienen dados mediante condiciones de tangencias a una recta (r) y dos circunferencias (cc).
Podemos enuncia por lo tanto el problema de la siguiente manera:
Determinar las circunferencias que son tangentes a una recta y a dos circunferencias
Una de las cuatro posibles soluciones al problema
El problema tiene hasta cuatro posibles soluciones, aspecto que deberá ser analizado con detalle para obtener aquella que cumpla con las condiciones del diseño que correspondan en cada caso.
Supongamos que los datos del problema vienen determinados por las circunferencias C1 y C2 de centros O1 y O2, y la recta r, tal y como se representa en la figura anterior.
Al estudiar la inversión en el plano vimos que se podían transformar rectas en circunferencias tomando centros de inversión en puntos de la circunferencia.
El radio de la circunferencia de autoinversión (IT) lo obtenemos a partir de la potencia de inversión IP*IP’ = IQ*IQ’ = IT*IT’ aplicando las construcciones, por ejemplo, que hemos visto en el teorema del cateto.
Supongamos que la circunferencia “c” es una de las soluciones buscadas, tangente a la circunferencia c1. Si invertimos c1 y c con centro uno de los puntos de c1 (el I1), las circunferencias inversas seguiran siendo tangentes ya que la transformación es conforme. La circunferencia c1 se convertirá en una recta ya que I1 está sobre c1.
Si elegimos la potencia de forma que c sea doble, c=c’, la recta transformada de c1 será tangente a c, y la circunferencia c=c’ será ortogonal a la circunferencia de autoinversión.
Este análisis es el que nos permite obtener restricciones de ortogonalidad para ser utilizadas en nuestro problema, considerando las inversiones de potencia positiva que se dan entre las circunferencias y la recta.
En nuestro caso los centros I1 e I2 pueden considerarse centros de inversión que transforman las circunferencias c1 y c2 en la recta r.
En cada una de estas transformaciones, las circunferencias que buscamos, las soluciones, serán circunferencias dobles y por lo tanto deberán ser ortogonales a la de autoinversión.
El problema puede ser enunciado a partir de las nuevas circunferencias de autoinversión, ya que deben ser ortogonales a ellas:
Determinar las circunferencias ortogonales a dos y tangentes a una recta (o circunferencia)
Este nuevo enunciado es un caso del problema fundamental de tangencias, ya que las circunferencias ortogonales a dos dadas pertenecen al haz conjugado del que determinan. En este caso, el haz conjugado quedará determinado por los puntos límites L1 y L2 situados sobre su recta base.
La solución quedará determinada resolviendo este último problema:
Determinar las circunferencias de un haz que son tangentes a una recta (circunferencia).
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