Geometría proyectiva: Formas superpuestas de primer orden

Las formas proyectivas superpuestas son un caso particular de las formas proyectivas, en las que relacionamos elementos de la misma naturaleza que comparten una base común.

Por ejemplo, dos series superpuestas tendrán la misma recta como base de las formas geométricas, dos haces de rectas el mismo vértice (haces concéntricos) y dos haces de planos superpuestos tendrán el mismo eje (coaxiales).

Trabajaremos fundamentalmente con series de puntos y haces de rectas aunque, todo lo que se desarrolle para estas formas, podremos generalizar a haces de planos.

Dos series superpuestas comparten la misma recta base

Sobre cada uno de los elementos de la base encontraremos elementos diferentes pertenecientes a las dos formas:

En una serie superpuesta tendremos puntos de las dos series, s1 y s2.
En un haz concéntrico rayos ….

Estos elementos tendrán sus correspondientes homólogos donde corresponda, no coincidiendo en general en la posición, salvo en las involuciones, tal y como se aprecia en la figura.

Desde un punto de vista operativo, para obtener elementos homólogos, podremos separar las formas o, mediante operaciones proyectivas, relacionarlas con otras de segundo orden; en particular utilizaremos las circunferencias como herramientas proyectivas para operar con series y haces superpuestos.

Series superpuestas

Hemos visto las relaciones básicas entre haces pespectivos. Estas formas comparten una recta denominada “eje perspectivo” de los haces.

Si seccionamos por una recta ambos haces obtendremos dos series superpuestas que son proyectivas entre sí al ser secciones de dos haces perspectivos.

En la figura se aprecia que estas series pueden tener dos puntos dobles:

D1 : Intersección de la base con el rayo doble d=d’ de los haces perspectivos
D2: Intersección de la base con el eje perspectivo

Haces superpuestos

Hemos visto las relaciones básicas entre series pespectivas. Estas formas comparten un punto denominado “centro perspectivo” de las series. Si proyectamos desde un punto ambas series obtendremos dos haces superpuestos (concéntricos) que son proyectivos entre sí al ser proyección de dos series perspectivas. En la figura se aprecia que estos haces pueden tener dos rayos dobles:

d1 : proyección desde la base del punto doble D=D’ de las series perspectivas
d2: proyección desde la base del centro perspectivo