Geometría Proyectiva: Cuadrivértice Completo

Una de las figuras geométricas más utilizadas en la geometría proyectiva es la del “Cuadrivértice Completo”, o su dual “Cuadrilátero Completo”.

De forma general, un cuadrivértice está formado por cuatro puntos, por lo que en el plano esta figura tiene 8 grados de libertad (2 coordenadas por cada vértice) y serán necesarias 8 restricciones para determinar uno concreto.

El cuadrivértice completo tiene 4 vértices; se define a partir de un cuadrivértice general:

Esta figura tiene 6 lados, resultado de unir dos a dos los cuatro vértices.

Contiene 3 puntos diagonales, definidos por ser las intersecciones de los lados que no comparten un mismo vértice.

Tiene 3 diagonales, cada una de las cuales contiene a dos puntos diagonales

Relaciones Armónicas en el Cuadrivértice Completo

Recordaremos que dados cuatro puntos A, B, C y D, situados sobre una recta, podemos definir la razón doble de estos cuatro puntos (ABCD) como el cociente de las razones simples (ACD) y (BCD). La razón doble la estudiamos al definir las cuaternas ordenadas de elementos mientras que la razón simple fue formulada en la introducción a ternas ordenadas de elementos.

Análogamente definíamos la razón doble de cuatro rectas, representado como (abcd), y relacionábamos esta razón doble con la de los puntos obtenidos al seccionar estas rectas, siendo iguales y por lo tanto (ABCD)=(abcd)

¿A qué llamamos cuaterna armónica?

Cuando el valor de la razón doble es “-1”, es decir, la unidad negativa, decimos que los elementos de la cuaterna (ABCD)=(abcd)=-1 determinan una cuaterna armónica, y en consecuencia los dos primeros elementos, puntos o rectas, separan armónicamente a los dos últimos de cada cuaterna, es decir:

• Si (ABCD)=-1 entonces “A” y “B” separan armónicamente a “C” y “D”
• Si (abcd)=-1 entonces “a” y “b” separan armónicamente a “c” y “d”

En el cuadrivértice podemos encontrar estas relaciones.

Si nos fijamos en la siguiente figura, vemos que (ABCD)=(A’B’C’D’) por ser secciones de un mismo haz de vértice V2, pero a su vez, (ABCD)=(B’A’C’D’) por ser secciones del haz de vértice V1.

De lo anterior se deduce que (A’B’C’D’)=(B’A’C’D’), pero como (A’B’C’D’)=1/(B’A’C’D’) ya que al permutar A’ y B’ se invierte el cociente de las ternas que determinan, concluimos que (ABCD)=(A’B’C’D’)=(B’A’C’D’) sólo puede tener módulo unitario.

Por otra parte, la terna (ACD) debe ser positiva por estar C y D al mismo lado respecto de A, y la terna (BCD) debe ser negativa por encontrarse B entre C y D.

De las dos últimas conclusiones se deduce que (ABCD)=(ACD)/(BCD) =-1 y en consecuencia la relación es armónica tanto para los puntos como para las rectas.

Dos lados de un cuadrivértice separan armónicamente a las diagonales que concurren en el punto diagonal que determinan

Geometría Proyectiva