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Geometría proyectiva: Ternas ordenadas de elementos

Ternas ordenadas de elementos

tresLa geometría métrica se fundamenta en el conocido teorema de pitágoras. Todas los teoremas se deducen a partir del concepto de medida que se deriva de los triángulos rectángulos.

De forma análoga, la geometría proyectiva se basa en otro importante teorema, el teorema de Thales, que en lugar de un concepto métrico establece la noción de relación de medidas, como invariante proyectivo.

Concepto de ternas de elementos

Tres elementos pertenecientes a una forma de primera categoría determinan una terna.

En el caso de usar los elementos puntos, entonces diremos que tres puntos determinan una terna ordenada de puntos.

Los elementos pueden ser tanto puntos como rectas o planos, incluso se podrían generar ternas de hiperelementos en geometrías más complejas.

Para representarlo simbólicamente usamos la siguiente notación:

  • Terna de puntos: (ABC)
  • Terna de rectas: (abc)
  • Terna de planos: (αβγ)

La terna tiene un valor numérico o característica asociado que implica la ordenación de los términos que la forman.

  • (ABC) = AB/AC = λ. [Ec. 1]
  • (abc) = sen(ab)/sen(ac) = λ. [Ec. 2]
  • (αβγ) = sen(αβ)/sen(αγ) = λ. [Ec. 3]

Ternas ordenadas de puntos

Se define el valor de una terna ordenada de tres puntos como el cociente entre dos longitudes, la del segmento formado por el primer y segundo punto de la terna y el segmento formado por el primer y el tercer punto:

ecuacion ternas puntos

Ec. 1

Los segmentos pueden tener signo. El sentido del segmento AB es contrario al del BA, o lo que es lo mismo, AB = – BA

Conceptualmente se puede entender una terna como la medida de un segmento tomando como unidad el otro.

Por ejemplo, si B es el punto medio del segmento AC, la terna (ABC) = 1/2. El segmento AC actúa como unidad de medida.

Ternas ordenadas de rectas

Se define el valor de la terna ordenada de tres rectas como el cociente entre dos senos, el del ángulo formado por las dos primeras rectas y el que determina la primera y tercer recta:[Ec. 2]

ternas ordenadas rectas

Ec.-2

Tres rectas de un haz de vértice V, y los tres puntos de una serie sección del haz por una recta se pueden relacionar mediante los valores de sus ternas.
Este valor o característica de la terna es un elemento fundamental para clasificar las proyecciones, de forma que aquellas en que es invariante gozan de propiedades comunes e independientes del tipo de proyección.

Relacion_ternas_puntos_rectas

Figura 2.- Relacion entre ternas de puntos y rectas

Al proyectar ortogonalmente los puntos B y C de la rerie rectilínea sobre la recta a de la Fig.1, se obtienen los puntos B’ y C’. Los triángulos ABB’ y ACC’ son semejantes por lo que, aplicando las relaciones según el teorema de Thales:

(abc) = sen(ab)/sen(ac) = λ [Ec. 2]

El valor del seno del ángulo que forman las rectas a y b así como el formado por las rectas a y c será:

Ecuaciones de ángulos entre rectas

Ecuaciones de ángulos entre rectas

Si se sustituyen estos últimos valores en la [Ec. 2] tendremos:

ecuación 6. Relación entre ternas de puntos y rectas

ecuación 6. Relación entre ternas de puntos y rectas

Por tanto, en general, (ABC) ≠ (abc), el valor de una terna de rectas es diferente del de una terna de puntos que la secciona.

Si seccionamos un haz de rectas por dos rectas no paralelas, las series determinadas son perspectivas entre sí, aunque las ternas de puntos no tienen la misma característica.

Un ejemplo es la proyección cónica desde un punto V.

perspectividad_series

Fig.-3 Perspectividad entre series

Para que sean iguales las dos ternas es necesario que el cociente VC/VB sea igual a la unidad. Esto se consigue cuando el vèrtice es un punto impropio, o cuando las rectas que seccionan son paralelas.
Esto permite obtener interesantes propiedades en las proyecciones de naturaleza cilíndrica (vértice impropio) y en las proyecciones y, o, secciones por rectas o planos.

Conservación de la razón simple

Cuando el vértice V del haz de rectas se encuentra en el infinito, el término VC/VB de la [Ec. 6] tiende a la unidad, por lo que la terna de puntos tiene igual valor que la terna de rectas.

Fig.-4-conservacion_razon_simple_secciones_rectas_paralelas

Fig.-4 Conservación de la razón simple en secciones por rectas paralelas

Al seccionar tres rectas de un haz de vértice impropio (rectas paralelas a, b y c en la figura ), las diferentes ternas de puntos resultados de la sección tienen por tanto un mismo valor o característica.

Este caso se corresponde con las proyecciones conocidas como proyecciones cilíndricas, en las que se proyecta según una dirección ortogonal u oblícua respecto del plano de proyección, o plano del dibujo.

Fig.- 5 Conservación razón simple en secciones por rectas paralelas

Fig.- 5 Conservación razón simple en secciones por rectas paralelas

Al seccionar tres rectas de un haz de vértice propio (rectas paralelas a, b y c en la figura ), las diferentes ternas de puntos resultados de la sección tienen por tanto un mismo valor. Este caso se corresponde con las proyecciones cónicas sobre planos o rectas que sean paralelos y en las homotecias.

Conservación de la razón simple en Proyecciones cilíndricas:

El modelo proyectivo puede ser de gran utilidad en el estudio de los sistemas de representación. Para obtener las diferentes representaciones se proyectan los elementos sobre un plano de proyección.

Este proceso implica el uso de las dos operaciones proyectivas:

  • Proyectamos un punto
  • Seccionamos el rayo resultante por el plano de proyección.

Podemos utilizar los términos proyectivos por ejemplo para definir el concepto de proyección de un elemento.

  • Proyectar un punto desde otro es definir la recta que pertenece a ambos elementos (Serie rectilínea)
  • Proyectar una recta desde un punto es definir el plano que pertenece a ambos elementos (Haz de rectas)
  • Proyectar un plano desde un punto es definir el conjunto de rectas/planos que pertenece al punto y a los puntos/rectas del plano (Radiación de rectas/planos)

Al proyectar los elementos, el centro de proyección puede ser:

  • Propio
  • Impropio

En el caso de una proyección con centro impropio (o también denominada proyección cilíndrica), se conserva la razón simple en las ternas de rayos proyectantes.

(AMB) = (A’M’B’)

Fig.- 7 Proyección del punto medio de un segmento en proyección cilíndrica.

Fig.- 7 Proyección del punto medio de un segmento en proyección cilíndrica.

La proyección del punto medio, por tanto, se corresponde con el punto medio de la proyección.

Este resultado es de gran utilidad en numerosos problemas en que la relación entre sus partes, su geometría, es conocida.

Por ejemplo la obtención de la proyección del baricentro de un triángulo se puede limitar de nuevo a localizar el baricentro del triángulo proyectado.

 

Sistemas_de_representacion

Sistemas_de_representacion

Geometría Proyectiva

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