Geometría métrica : Teorema de Pitágoras

pitagorasLa geometría métrica se fundamenta en el conocido teorema de Pitágoras, que establece la relación métrica entre los lados de un triángulo rectángulo.

El concepto de medida del espacio euclídeo lo adopta en su definición de distancia, y las relaciones geométricas derivadas son de suma importancia.

A pitágoras debemos otros teoremas menos conocidos, así como el reconocimiento a la escuela de geómetras que creó, de la que hoy nos beneficiamos todos.

Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 – 507 a. C., en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος) fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no solo a Pitágoras. Su escuela afirmaba «todo es número», por ello, se dedicó al estudió y clasificación de los números.(W)

Enunciado del Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.(w)

Existen diferentes demostraciones de este importante teorema que es la base de la geometría métrica.

El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C.Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c (W)

Matemáticamente se puede enunciar con la siguiente ecuación:

Enunciado_pitagoras

Esta ecuación expresa que el área de un cuadrado de lado “a” es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados, uno de lado “b” y otro de lado “c”. Si denominamos “a” a la hipotenusa (lado más largo) de un triángulo rectángulo y “b” y “c” a los catetos, gráficamente se puede representar con la siguiente figura.

Demostracion_pitagoras_areas

 

Para demostrar que esta ecuación se cumple, usaremos dos nuevas figuras obtenidas a partir de cuadrados de lado “b+c”. En el primero se dibuja un cuadrado inscrito de lado a cuyo área será el cuadrado de este lado. Para completar el área del cuadrado del que hemos partido deberemos añadir cuatro triángulos rectángulos iguales (azul claro).

En la figura de la derecha se han formado dos cuadrados, uno de lado “b” y otro de lado “c”. Para completar el área total se necesitan de nuevo cuatro triángulos rectángulos, lo mismo que en el caso anterior, lo que permite asegurar que el cuadrado de lado “a” tiene un área igual a la de la suma de los otros dos cuadrados.

Demostracion_pitagoras

Esta demostración tiene el encanto de ser muy gráfica y sencilla, sin apenas operaciones matemáticas.

Propiedades del triangulo rectángulo

Hay dos propiedades del triángulo rectángulo (un ángulo es recto) que tienen especial importancia para el desarrollo de conceptos más elaborados como son los de potencia e inversión que permiten desarrollar los modelos que analizan las tangencias Son los denominados teoremas de la altura y del cateto.

En la figura se ha representado un triángulo rectángulo que reposa sobre su hipotenusa. La altura del triángulo es la distancia del vértice “A” a la hipotenusa (su base).

.
propiedades_triangulo_rectangulo

 

Teoremas del cateto y de la altura.

Ambos teoremas se basan en el conocido teorema de Thales, que establece una relación entre los lados de dos triángulos semejantes.

Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercero también lo es. Esto es así ya que la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre son180º sexagesimales.

Para demostrar que dos triángulos son semejantes basta con demostrar que tienen dos ángulos iguales.

En la figura anterior podemos encontrar tres triángulos semejantes: ABC, ABH y HCA. Los tres triángulos tienen un ángulo recto, y dos a dos comparten un ángulo, luego el tercero vale lo mismo.

Podemos por tanto, aplicando Thales, establecer algunas igualdades como:

BA/BC = BH/BA o AH/HC = BH/AH

siendo BA la distancia entre los puntos A y B etc.

Los siguientes teoremas se obtienen directamente de las relaciones anteriores:

teorema_cateto

Teorema del cateto-.El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
  • BA es el valor de uno de los catetos,
  • BC el de la hipotenusa
  • BH es la proyección de BA sobre la hipotenusa
Teorema_altura
Teorema de la altura-.La altura de un triángulo rectángulo medida sobre su hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.
  • AH es la altura del triángulo medido sobre la hipotenusa
  • BH y HC los dos segmentos en que divide la altura a la hipotenusa

Ejemplo de aplicación teorema del cateto

Datos (a, b, x. x = a. b ).

Incógnita ( Hallar el segmento x media proporcional, entre dos segmentos a , b dados)

ejemplo_teorema_cateto

Ejemplo de aplicación teorema de la altura

Datos (a, b, x. x = a. b ).

Incógnita ( Hallar el segmento x media proporcional, entre dos segmentos a , b dados)

ejemplo_teorema_altura

 

Datos (m, s, x + y = s , x .y = m. m).

Incógnita (Hallar dos segmentos x e y conocida su suma s y su media proporcional m o su producto m. m.)

ejemplo_teorema_altura_2

Ejemplo de aplicación del triángulo rectángulo

Dados dos puntos A y B. Trazar por ellos dos rectas paralelas que disten la magnitud m dada.

ejemplo_triangulo_rectangulo

Test de autoevaluación

Se deberá marcar V (verdadero) o F (Falso) cada una de las relaciones siguientes

Test 1

test_triangulo_rectangulo Utilizaremos diferentes subíndices para identificar a los elementos.

Por ejemplo, un triángulo tiene tres alturas. Si la medimos desde el vértice “A” la etiquetaremos con el subíndice “a” en minúscula.

Los lados opuestos a un vértice se etiquetarán con la misma letra pero en minúsculas
test_triangulo_rectangulo_1

Para contestar a las preguntas, se recomienda buscar primero las posibles relaciones que se derivan de aplicar los teoremas expuestos (cateto y altura).

Es interesante tratar de identificar gráficamente cada uno de los elementos que aparecen en la ecuación que se presenta.

test_triangulo_rectangulo_2

El punto “H” se denomina pie de la altura hc

H divide a la hipotenusa en dos segmentos.

En este caso se ha utilizado incorrectamente la designación de los vértices del triángulo, ya que se debe usar la letra “A” para el que contiene el ángulo recto.

test_triangulo_rectangulo_2_1

Recuerda que debes identificar gráficamente los segmentos que se relacionan con la figura.

El interés es formar gráficamente de forma que las expresiones matemáticas no sean el nucleo formativo. Las construcciones gráficas son las que deben primar en un aprendizaje de la geometría básica para poder alcanzar altos niveles de abstracción.

Curso de Geometría Métrica

Curso de Geometría Métrica

Este artículo está dedicado a la memoria del profesor D. Victorino González García, maestro de maestros, que me inculcó su amor por la geometría.

Geometría métrica

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José Juan Aliaga Maraver
Profesor del Departamento de Vehículos Aeroespaciales (DVA) de la Universidad Politécnica de Madrid.
Ha sido Subdirector del Dpto. DVA durante 10 años(Director en funciones 9 meses)
Es Coordinador del grupo de innovación educativa Visual Graphics Group (VGG) desde su constitución.
Es coordinador de las pruebas de Dibujo Técnico de las PAUs (Selectividad) de Madrid.
Colaborador de la URJC y el centro de Biotecnología de la UPM
Coordinador de las asignaturas de Dibujo del Master de formación de profesorado de la UPM.