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Geometría proyectiva: Cuaternas ordenadas de elementos

cuatroDe forma análoga a la definición que vimos de “ternas ordenadas de elementos“, podemos enunciar una definición que implique a cuatro elementos.

La no conservación de la razón simple en proyecciones cónicas obliga a estudiar un nuevo modelo que sea de aplicación en estas representaciones, con un nuevo invariante presente en las razones dobles.

Dados cuatro elementos geométricos pertenecientes a una misma forma de primera categoría, podemos enunciar:

Cuatro elementos pertenecientes a una forma de primera categoría determinan una cuaterna. La ordenación de los puntos permite asociarles un valor denominado “característica de la cuaterna”.

Cuaternas de rectas y de puntos

Cuaternas de rectas y de puntos

Dados cuatro puntos, rectas o planos, la cuaterna se escribe matemáticamente con el siguiente simbolismo:

  • puntos: (ABCD)
  • rectas: (abcd)
  • planos: (abgd)

De forma análoga a lo visto para la razón simple que obteníamos en las ternas, una razón doble es el cociente de dos razones simples, como se expresa en la siguiente ecuación para puntos:

Definicion cuaterna

o para cuatro rectas:

Definicion cuaternas rectas

pero las ternas de rectas expresaban un cociente, tal y como vimos, lo que nos permite desarrollar la expresión de una cuaterna con objeto de relacionar las cuaternas de puntos y las de rectas, o planos, que los proyectan.

Captura de pantalla 2013-02-12 a la(s) 21.40.21

que nos permiten obtener

Captura de pantalla 2013-02-12 a la(s) 23.05.16

La razón doble de cuatro rectas con vértice común, es la de los cuatro puntos en que las secciona cualquier recta que no pase por dicho vértice.

Conservación de la razón doble

La ecuación anterior es de gran importancia puesto que nos permite establecer un invariante proyectivo, que relaciona los elementos independientemente del tipo de proyección empleada.

Perspectividades entre elementos de formas de primera categoria.

Perspectividades entre elementos de formas de primera categoria.

Geometría Proyectiva

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