Sistema Diédrico: Teorema de las tres perpendiculares

Uno de los teoremas más importantes de la geometría descriptiva es el denominado “Teorema de las tres perpendiculares”, que establece una relación entre dos rectas perpendiculares cuando una de ellas es paralela a un plano de proyección.

Este teorema sólo es de aplicación en el caso de las proyecciones cilíndricas ortogonales, aunque las figuras de análisis utilizadas en su demostración serán de utilidad más adelante cuando definamos el concepto de línea de máxima pendiente.

Si dos rectas (a) y (b) son perpendículares entre sí, y una de ellas (b) es paralela a un plano de proyección,las proyecciones ortogonales de dichas rectas sobre este plano de proyección son perpendiculares.

Para demostrar este teorema deberemos apoyarnos en geometría espacial, en particular usaremos conceptos asociados a la perpendicularidad entre recta y plano que ya enunciamos al estudiar los Fundamentos del Sistema Diédrico.

Una recta es perpendicular a un plano si lo es a dos rectas no paralelas contenidas en dicho plano.

Si una recta es perpendicular a un plano, todos los planos que la contengan también son ortogonales a dicho plano.

Para demostrar el teorema de las tres perpendiculares supondremos que tenemos un plano proyectado sobre otro (por ejemplo proyectaremos sobre un Horizontal H un plano Ø). La recta intersección “h” coincide con su proyección y podemos considerar que es paralela al plano de proyección H.

Si proyectamos un punto “A” del plano sobre el plano de proyección. la recta A-A’ es perpendicular al plano de proyección.

Cualquier plano que contenga a la recta A-A’ será perpendicular al plano Horizontal H de proyección. Si consideramos un plano que contenga a esta recta y sea perpendicular a la recta h, será también ortogonal al plano Ø (y a cualquier plano que contenga a h)

El nuevo plano perpendicular a H y a Ø corta a estos planos en las rectas A-I y A’-I’ que serán por lo tanto ortogonales a las rectas superpuestas h y h’.

Podemos ver las tres condiciones de ortogonalidad que dan nombre a este teorema.

Si separamos el plano Ø, desplazándolo según la dirección normal al plano de proyección H, veremos que la recta h se separa de su proyección h’ permaneciendo paralela al plano H. En estas circunstancias veremos que la recta I-A ortogonal a “h” se proyecta como I’-A’ ortogonal a h’, verificando el teorema de las tres perpendiculares.

Sistemas_de_representacion