Las técnicas de solución de problemas basadas en la intersección de lugares geométricas se suelen asociar a problemas sencillos de la geometría clásica.
En estos casos es el planteamiento de la solución lo que entraña la mayor complejidad, ya que los lugares geométricos derivados suelen ser elementos geométricos sencillos.
Determinar un punto P desde el que se observe bajo el mismo ángulo a los tres lados de un triángulo ABC.
Vamos a resolver el problema de determinar un cuadrado, cuyos vértices se encuentran sobre elementos geométricos dados.
En particular fijaremos los correspondientes a una de sus diagonales sobre una recta, otro de los vértices en una recta diferente y el cuarto vértice sobre una circunferencia.
Los problemas básicos de geometría métrica tienen una especial belleza. Son adecuados para introducir a los alumnos en el arte del análisis en esta disciplina.
Uno de los problemas propuestos en el examen de Selectividad de Septiembre de 2014 plantea la obtención de una figura geométrica simple, un cuadrado, cuyos vértices se encuentran sobre elementos geométricos dados.
Al plantear el problema de la mesa de billar, que consiste en golpear a una de las dos bolas que se encuentran en la mesa (la A por ejemplo) , de forma que ésta impacte con la otra (la B) dando previamente en una de las bandas (bordes) de la mesa, dejábamos el problema cerrado a un caso de simple rebote.
Podemos generalizar el problema considerando que se pueden dar, antes de impactar con la segunda bola, un número determinado de impactos con las bandas (bordes laterales) de la mesa.
Las figuras geométricas pueden compararse entre sí tomando como referencia para esta comparación tanto su forma como su tamaño.
En base a las diferentes combinaciones que podemos encontrar en estas comparaciones las clasificaremos en:
Formas semejantes: Tienen igual forma pero diferente tamaño
Formas equivalentes: Tienen diferente forma pero igual tamaño (Área o Volumen)
Formas congruentes: Tienen igual forma y tamaño (son iguales)
En general, para obtener una forma equivalente a otra dada, utilizaremos un cuadrado equivalente como forma intermedia entre dos figuras equivalentes. Por ello, analizaremos primero la forma de obtener un cuadrado equivalente a una figura geométrica.
El usuario de YouTube gervalengar tiene un canal educativo dedicado a la visualización de la geometría descriptiva. En sus vídeos educativos presenta construcciones de geometría descriptiva (Sistemas de representación) de forma animada, mostrando los modelos espaciales y su proyección sobre los clásicos planos diédricos para abordar esta disciplina desde un plano puramente visual.
Las superficies que se emplean en la ingeniería son de diferentes naturalezas. Su clasificación en base a diferentes criterios sirve para facilitar su comprensión así como deducir propiedades comunes a grupos de ellas.
Uno de los aspectos que permite diferenciar estas superficies es la posibilidad de generarlas por movimientos de rectas a lo largo de una curva, o sometidas a una ley de generación. Entre ellas destaca la denominada “Paraboloide hiperbólico”
El concepto de potencia es fundamental para resolver de forma estructurada los problemas de tangencias y su generalización en los casos de angularidad.
Este concepto, que se aplicará inicialmente al problema fundamental de tangencias, nos permitirá utilizar un proceso sistemático de análisis de los diferentes casos, ya que podremos reducir el resto de ejercicios de circunferencias tangentes a tres dadas a un único problema básico.
En esta presentación, realizada con Prezi, se muestran las ideas básicas asociadas a este importante concepto.
Uno de los primeros problemas que debemos aprender a resolver en geometría proyectiva es la determinación de elementos homólogos, tanto en series como en haces y en cualquier disposición de sus bases, superpuestas o separadas.
Para continuar el estudio de la metodología a emplear usaremos el modelo dual al basado en elementos “puntos”, es decir con rectas, suponiendo además que las bases de los correspondientes haces a relacionar se encuentran separados.
La definición proyectiva de la cónica permite empezar a resolver problemas clásicos de determinación de nuevos elementos de la cónica (nuevos puntos y tangentes en ellos), así como encontrar la intersección con una recta o la tangente desde un punto exterior. Estos problemas pueden resolverse por diferentes métodos más o menos complejos conceptualmente y con trazados más o menos laboriosos.
Veremos a continuación cómo determinar los dos posibles puntos de intersección de una recta con una cónica definida por cinco puntos.
Cuando la base de una serie es una cónica la serie es de segundo orden.
Igual que en el caso de series de primer orden cuando definíamos las series superpuestas, podemos establecer proyectividades entre dos series de segundo orden con la misma base (en este caso una cónica).
