Projektive Geometrie: Perspektivität

Los fundamentos proyectivos se basan en las definiciones de “bestellt Tripel von Elementen"Und “cuaternas que permiten establecer el concepto de razón doble“, und Beziehungen genannt “Perspektiven” zwischen Elementen gleicher oder unterschiedlicher Natur.

Diese Perspektiven Beziehungen, das wird bei der Bestimmung Projektionen Repräsentationssysteme verwendet werden, von zwei projektiven Operatoren definiert:

• Projection
• Abschnitt

Projekt von einem Scheitelpunkt V eine geradlinige Serie s, durch einen Satz von ausgerichteten Punkten gebildet A, B, C …. erhalten, der Strahl ist gerade zu, b, c … Scheitelpunkt in der Mitte der Projektion V.

§ § por una recta s ein Bündel von gleichzeitigen Linien zu, b, c …Scheitel V, es obtener la serie rectilínea de puntos alineados A, B, C ….Gerade auf der Basis s.

Wenn wir diese vier Elemente der geometrischen Formen (Serie und machen gerade Linien) können wir Quadrupel von Elementen, die einen bestimmten Wert Ihrer Immobilie haben, festzustellen,, so haben wir die Studie definiert Vervierfachung der bestellten Artikel. Dieser Wert, wie oben, ist die gleiche in dem Fall der Quaternionen in gestrichelten Linien, und wenn ein Vorsprung bzw. Schnitt sind anderer. Nämlich:

(abcd) = (ABCD)

Das Doppelverhältnis von vier Zeilen von einem einzigen Strahl, wird die Anzahl der Punkte als gerade Abschnitt, die keinen Scheitelpunkt des Strahls enthält, erhalten wird.

Ebenso haben wir die Dual-Theorem:

Das Doppelverhältnis von vier Punkten der gleichen Reihe, Es wird als die geraden Vorsprung von jedem Punkt, der nicht den Boden der Reihe enthält, erhalten wird.

Wir sagen, dass die Leitung und der Träger sind perspektivischen Abschnitt oder wenn Sie eine andere vorstehende.

Wir haben daher erste Definition von Perspektivität zwischen Formen der gleichen Klasse, aber von einer anderen Natur (Vs gerade Punkte).

Können wir ein Konzept zu etablieren Perspektive ähnlich zwischen zwei Balken oder zwei Serien?

Strahl gerade Perspektivität.

Wir können verschiedene Definitionen von Perspektivität zwischen zwei koplanaren Balken geben gerade.

Zwei Strahlen von verschiedenen Ecken gerade, V und V', Perspektive einander sind, so kann als eine Projektion eines gemeinsamen Satzes erhalten werden.

und: perspektivischen Achse

Von der Scheitel V und V vorstehende’ Punkte (ABC…) perspektivisch eine Reihe zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Strahl erhalten werden ( d = d '), , so dass es gilt, dass Quaternionen bezogene Elemente identisch sind:

(abcd) = (ABCD) = (A'B'C'D ')

• Beams von Knoten V und V 'mit perspektivischen perspektivischen Achse gerade und Unterstützung (Basis) Serien vorst.
• Jeder Strahl Scheitellinie V und sein Strahl homologe Vertex V ' Schnitt auf die Achse.
• Das Element d = d ', die die Basis V und V' Strahlen, ein Dualelement

Perspektivität zwischen Gruppen von Punkten.

Wie in jedem Satz können wir in der projektiven Geometrie etablieren, kann ein Doppelwechsel das Element, das bestimmt, erhalten. So, in dem Fall einer Reihe von Punkten spectivity Definition ähnlich der für den gerade Balken angegeben finden:

Der Reihe von Punkten verschiedener Basen, s und s', Perspektiven einander sind, cuando se pueden obtener como sección de un mismo haz.

V: Zentrum Perspektive

Am Schnitt durch gerade r und r’ Strahlen (ABC…) Sie zwei Perspektiven einer Serie, die einen gemeinsamen Punkt haben, erhalten werden ( D = D '), , so dass es gilt, dass Quaternionen bezogene Elemente identisch sind:

(ABCD) = (abcd) = (A'B'C'D ')

• Die Basissätze r und r"Die Aussichten sind mit Zentrum Perspektive Punkt V Unterstützung (Vertex) Strahl, geschnitten.
• Jeder Punkt in der Reihe der Grundlage ry ihre homologen Reihe Basis r’ projiziert dieses Zentrum.
• Das Element D = D 'mit dem Grund r r "-Serie, ein Dualelement

Dualidad en el plano

Vemos por lo tanto que existe una dualidad entre las propiedades y teoremas que vinculan a los punto y las rectas del plano, pudiéndose obtener unos de otros al cambiar las palabras punto y plano en los enunciados, y las operaciones de proyección por las de sección.

Como resumen de lo anterior, podemos presentar un simple diagrama que simplificará lo expuesto. Veremos más adelante la importancia de las relaciones perspectivas para entender las proyectivas.

Geometría Proyectiva