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Projektive Geometrie: Bestellt Tripel von Elementen

Bestellt Tripel von Elementen

tresMetrische Geometrie basiert auf den Namen Satz des Pythagoras. Alle Sätze von dem Konzept der Messung, die von der rechtwinkligen Dreiecke abgeleitet abgeleitet.

In ähnlicher Weise, Projektive Geometrie basiert auf einem anderen wichtigen theorem, die Thales Theorem, dass statt einer metrischen Konzept legt den Begriff der Beziehung von Maßnahmen, als projektive invariante.

Konzept der Triaden der Elemente

Drei Elemente gehören eine erstklassige Möglichkeit, bestimmen ein Terna.

Bei Verwenden der Punkte-Elemente, Wir werden dann sagen, dass drei Punkte eine Rangliste der Punkte bestimmen.

Die Elemente können sowohl Punkte und Linien oder Ebenen sein., sogar Hiperelementos Triaden kann komplexere Geometrien.

Um es symbolisch darzustellen, verwenden wir die folgende notation:

  • Drei Punkte: (ABC)
  • Vorauswahl von geraden Linien: (ABC)
  • Drei Ebenen: (W(A))

Die Liste hat einen numerischen Wert oder Funktion Zusammenhang die Begriffe umfasst, die sie bilden.

  • (ABC) = AB / AC = Λ. [EG. 1]
  • (ABC) Sen =(AB)/Sen(AC) = Λ. [EG. 2]
  • (W(A)) Sen =(ΑΒ)/Sen(N(H,ΑΓ)) = Λ. [EG. 3]

Geordnete Listen von Punkten

Sie legen den Wert der eine Rangliste der drei Punkte als das Verhältnis der zwei Längen, des Segments durch den ersten und zweiten Punkt Vorauswahl und das Segment gebildet, indem der erste und der dritte Punkt gebildet:

ecuacion ternas puntos

EG. 1

Die Segmente können Zeichen sein.. Der Sinn des Segments AB widerspricht der BA, oder, was dasselbe ist, AB = – BA

-Man kann eine Vorauswahl als Maßnahme eines Segments, die unter anderen als Einheit verstehen..

Beispielsweise, Wenn B der Mittelpunkt des Segments AC ist, die Vorauswahl (ABC) = 1/2. Das AC-Segment fungiert als eine Maßeinheit.

Listen von geraden Linien bestellt

Legen Sie den Wert der geordneten Liste von drei geraden als der Quotient zwischen beiden Brüsten, des Winkels gebildet von den beiden ersten bestimmt Linien und die das erste und dritte direkt:[EG. 2]

ternas ordenadas rectas

EG-2

Drei Linien eines Trägers der Scheitelpunkt V, und die drei Punkte in einer Reihe durch einen geraden Balkenquerschnitt zurückgeführt werden können mit den Werten der seiner Triaden.
Dieser Wert oder der Dreifach-Funktion Es ist ein grundlegendes Element, Projektionen zu klassifizieren, so, dass diejenigen, in denen es invariant ist, gemeinsame und unabhängig von der Art der Projektion Eigenschaften sind.

Relacion_ternas_puntos_rectas

Abbildung 2.- Beziehung zwischen Triaden von Punkten und Linien

Durch die Projektion orthogonal Punkte B und C der geradlinige Rerie auf der Linie der Abb. 1, Ruft die Punkte B und C'. Die Dreiecke ABB' und ACC' ähneln por lo que, Anwenden von Beziehungen nach dem Satz des Thales:

(ABC) Sen =(AB)/Sen(AC) = Λ [EG. 2]

Der Wert der Sinus des Winkels von der geraden gebildet ein und b als auch von den geraden Linien gebildet a und c werden:

Ecuaciones de ángulos entre rectas

Gleichungen der Winkel zwischen den Linien

Wenn diese letzten Werte, in ersetzt werden der [EG. 2] wir:

ecuación 6. Relación entre ternas de puntos y rectas

Gleichung 6. Beziehung zwischen Triaden von Punkten und Linien

Deshalb, allgemeine, (ABC) ≠ (ABC), der Wert der eine Dreiergruppe von Linien unterscheidet sich von der der eine Dreiergruppe von Punkten, die es Abschnitte.

Wenn wir ein Bündel von Linien von zwei Linien nicht parallel sezieren, bestimmte Reihen sind Perspektiven untereinander, Obwohl die Triaden Punkte nicht dasselbe Merkmal verfügen.

Ein Beispiel ist die konische Projektion von einem Punkt V.

perspectividad_series

Abb.-3 Interessenten zwischen Serien

Die zwei Triaden gleich sind ist es notwendig, die das Verhältnis VC/VB Einheit ist gleich. Dies wird erreicht, wenn der Scheitelpunkt ein falscher Punkt ist, oder wenn die geraden Linien, welche Abschnitte parallel sind.
Dadurch erhalten Sie interessante Immobilien in der Natur zylindrische Projektionen (unsachgemäße Scheitelpunkt) und in den Projektionen und, oder, Abschnitte von geraden Kanten oder stellen.

Conservation einfachen Grund,

Wenn der Scheitelpunkt V geraden Balken ist im unendlichen, der Begriff VC/VB die [EG. 6] tendenziell die Einheit, So haben die Dreiergruppe Punkte gleich Wert, die Dreiergruppe der Linien.

Fig.-4-conservacion_razon_simple_secciones_rectas_paralelas

Abb. 4 Erhaltung der einfachen Grund in Abschnitten von Geraden parallel

Wenn drei geraden Schneiden eines Trägers der unsachgemäße Scheitelpunkt (Geraden Parallel zur, b und c in Abbildung ), die verschiedenen Triaden Erkenntnisse Punkte des Abschnitts haben daher einen gleichen Wert oder Eigenschaft.

Dieser Fall entspricht mit Projektionen genannt zylindrische Projektionen, wo entsprechend eine orthogonale Richtung oder einen Winkel in Bezug auf die Ebene der Projektion projiziert werden, oder Zeichenebene.

Fig.- 5 Conservación razón simple en secciones por rectas paralelas

Feige.- 5 Einfachen Grund in Abschnitten direkt parallel Conservation

Wenn drei geraden Schneiden eines Trägers der eigenen Scheitelpunkt (Geraden Parallel zur, b und c in Abbildung ), die verschiedenen Triaden Ergebnisse Abschnitt Punkte sind daher denselben Wert. Dieser Fall entspricht mit Projektionen konische Flächen oder Linien, die parallel sind und in der homotecias.

Erhaltung der einfachen Grund in zylindrischen Projektionen:

Das projektive Modell kann sehr nützlich in der Studie der Systeme der Repräsentation sein.. Erhalten sind die verschiedenen Darstellungen projizierte Objekte auf einer Ebene der Projektion.

Dieser Prozess beinhaltet die Nutzung der zwei projektiven Operationen:

  • Wir planen Punkt
  • Wir zerlegen der resultierende Strahl in der Ebene der Projektion.

Die projektiven Bedingungen z. B. können wir den Begriff der Projektion eines Elements definieren.

  • Einen Punkt aus einem anderen Projekt ist, die Linie zu definieren, die beide Elemente gehört (Series geradlinigen)
  • Projektierung einer geraden Linie von einem Punkt ist die Ebene gehören beide Elemente zu definieren (Ebnet)
  • Projektierung ein Flugzeug von einem Punkt ist zum Definieren von geraden Linien/Flugzeuge gehören auf den Punkt und die Punkte/Linien des Flugzeugs (Strahlung von Linien/Flächen)

Wenn Elemente zu projizieren., Das Zentrum der Projektion kann sein:

  • Besitzen
  • Unsachgemäße

Bei einer Projektion mit unsachgemäßen Center (oder auch bekannt als zylindrische Projektion), ist in die Triaden der Strahlen, die Projektierung von einfachen Grund erhalten.

(WBA) = (A BIN 'B')

Fig.- 7 Proyección del punto medio de un segmento en proyección cilíndrica.

Feige.- 7 Projektion von dem Mittelpunkt eines Segments auf zylindrische Projektion.

Die Projektion des Mittelwerts, deshalb, Dies entspricht dem Mittelpunkt der Projektion.

Dieses Ergebnis ist deshalb nützlich in vielen Probleme, die Beziehung zwischen Teile, seine Geometrie, Es ist bekannt.

Zum Beispiel kann die Erlangung des Vorsprungs der Flächenschwerpunkt eines Dreiecks wieder eingeschränkt werden, um den Schwerpunkt des projizierten Dreiecks zu suchen.

 

Sistemas_de_representacion

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Geometría Proyectiva

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