פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: פּערספּעקטיוויטי

Los fundamentos proyectivos se basan en las definiciones de “באפוילן טריפּאַלז פון עלעמענטן"און “קואַטערנאַס que permiten establecer el concepto de razón doble“, און באציונגען גערופן “פּערספּעקטיווז” צווישן יסודות פון יידעניקאַל אָדער פאַרשידענע נאַטור.

די פּערספּעקטיווז באַציונגען, וואָס וועט זייַן געניצט אין דיטערמאַנינג פּראַדזשעקשאַנז פאַרטרעטונג סיסטעמס, דיפיינד פון צוויי פּראָדזשעקטיווע אָפּערייטערז:

• פּרויעקציע
• אָפּטיילונג

פּרויעקט פון אַ ווערטעקס אין אַ רעקטילינעאַר סעריע ס, געשאפן דורך אַ סכום פון אַליינד ווייזט א, ב, C …. קריגן די שטראַל איז גלייַך אַ, ב, C … ווערטעקס אין צענטער פון פּרויעקציע אין.

סעקשאַנז por una recta ס אַ פּעקל פון קאַנקעראַנט שורות אַ, ב, C …ווערטעקס אין, es obtener la serie rectilínea de puntos alineados א, ב, C ….גלייַך באזירט ס.

אויב מיר נעמען די פיר יסודות פון דזשיאַמעטריק שאַפּעס (סעריע און מאַכן גלייַך שורות) מיר קענען באַשטימען קוואַדרופּלעס פון עלעמענטן וואָס האָבן אַ ספּעציפיש ווערט פון דיין פאַרמאָג, ווי מיר האָבן דיפיינד די לערנען קוואַדרופּלעס פון זאכן באפוילן. דעם ווערט, ווי דיסקאַסט, איז דער זעלביקער אין דעם פאַל פון קוואַטערניאָנס אין דאַטיד שורות און אויב אַ פּרויעקציע אָדער סעקשאַנאַל זענען פון די אנדערע. ניימלי:

(אַבקד) = (אַבקד)

דער קרייַז פאַרהעלטעניש פון פיר שורות פון אַ איין שטראַל, איז די נומער פון ווייזט באקומען ווי אַ גלייַך אָפּטיילונג וואס טוט ניט אַנטהאַלטן קיין ווערטעקס פון די שטראַל.

סימילאַרלי מיר האָבן די צווייענדיק טעאָרעם:

דער קרייַז פאַרהעלטעניש פון פיר פונקטן פון דער זעלביקער סעריע, עס איז באקומען ווי די גלייַך פּרויעקציע פון ​​קיין פונט אַז טוט נישט אַנטהאַלטן די באַזע פון ​​די סעריע.

מיר זאָגן אַז די שורה און די שטראַל זענען פּערספּעקטיוואַל אָפּטיילונג אָדער אויב איר זענען פּראַדזשעקטינג אנדערן.

מיר דעריבער ערשטער דעפֿיניציע פון ​​פּערספּעקטיוויטי צווישן פארמען פון דער זעלביקער סאָרט, אָבער פון אַ אַנדערש נאַטור (ווס גלייַך ווייזט).

קענען מיר פאַרלייגן אַ באַגריף פּערספּעקטיוו ענלעך צווישן צוויי בימז אָדער צוויי סעריע?

שטראַל גלייַך פּערספּעקטיוויטי.

מיר קענען געבן פאַרשידענע זוך פון פּערספּעקטיוויטי צווישן צוויי קאָפּלאַנאַר בימז גלייַך.

צוויי בימז פון פאַרשידענע ווערטיסעס גלייַך, אין און אין', פּערספּעקטיוו זענען יעדער אנדערער, ווי זאל זיין באקומען ווי אַ פּרויעקציע פון ​​אַ פּראָסט שטעלן.

און: פּערספּעקטיוואַל אַקס

ווען פּראַדזשעקטינג פון די ווערטיסעס V און V’ ווייזט (אַבק…) פּערספּעקטיוואַל אַ סעריע צוויי בימז בעת אַ פּראָסט שטראַל זענען באקומען ( די = די '), אַזוי אַז עס האלט אַז קוואַטערניאָנס שייַכות יסודות זענען יידעניקאַל:

(אַבקד) = (אַבקד) = (אַ'ב'ק'ד ')

• בימז פון ווערטיסעס V און V 'זענען פּערספּעקטיוואַל מיט פּערספּעקטיוואַל אַקס גלייַך און שטיצן (באַזע) סעריע פּראַדזשעקטינג.
• יעדער שטראַל שורה ווערטעקס V און זייַן שטראַל האָמאָלאָגאָוס ווערטעקס V ' שנייַדן אויף אַז אַקס.
• די עלעמענט די = די 'מיט די באַזע V און V' בימז, איז אַ צווייענדיק עלעמענט

פּערספּעקטיוויטי צווישן שטעלט פון ווייזט.

ווי אין יעדער טעאָרעם מיר קענען פעסטשטעלן אין פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי, קענען באַקומען איין צווייענדיק טשאַנגינג די עלעמענט אַז דאַטערמאַנז. אַזוי, אין דעם פאַל פון אַ סעריע פון ​​ווייזט ספּעקטיוויטי געפינען אַ דעפֿיניציע ענלעך צו אַז געגעבן פֿאַר די גלייַך בימז:

פון די סעריע פון ​​פונקטן פון פאַרשידענע באַסעס, ס און ס', פּראַספּעקץ זענען יעדער אנדערער, cuando se pueden obtener como sección de un mismo haz.

אין: צענטער פּערספּעקטיוו

אויף סעקטיאָנינג דורך גלייַך ר און ר’ שטראַלן (אַבק…) טאָן צוויי פּערספּעקטיווז פון אַ סעריע וואָס האָבן אַ פּראָסט פונט זענען באקומען ( ד = די '), אַזוי אַז עס האלט אַז קוואַטערניאָנס שייַכות יסודות זענען יידעניקאַל:

(אַבקד) = (אַבקד) = (אַ'ב'ק'ד ')

• די יקער שטעלט ר און ר'פּראָספּעקץ זענען מיט צענטער פּערספּעקטיוו פונט V שטיצן (ווערטעקס) שטראַל אַז סעקשאַנד.
• יעדער פונט אין די סעריע פון ​​יקער רי זייער האָמאָלאָגאָוס סעריע באַזע ר’ פּראַדזשעקטאַד אַז צענטער.
• די עלעמענט ד = די 'מיט די באַזע ר ר' סעריע, איז אַ צווייענדיק עלעמענט

Dualidad en el plano

Vemos por lo tanto que existe una dualidad entre las propiedades y teoremas que vinculan a los punto y las rectas del plano, pudiéndose obtener unos de otros al cambiar las palabras punto y plano en los enunciados, y las operaciones de proyección por las de sección.

Como resumen de lo anterior, podemos presentar un simple diagrama que simplificará lo expuesto. Veremos más adelante la importancia de las relaciones perspectivas para entender las proyectivas.

פּראָדזשעקטיווע געאָמעטרי