Hemos visto la definición de diámetros polares conjugados, dada al analizar el concepto de direcciones conjugadas:
Diameters pool conjugaten: Son las polares de dos puntos impropios conjugados.
Vamos a ver cómo podemos relacionar este concepto con el de triángulo autopolar visto en las involuciones en series de segundo orden.
Los conceptos de polaridad que hemos visto al determinar la polar de un punto respecto de una recta, que nos han permitido obtener el triángulo autopolar de una cónica al establecer tres involuciuones diferentes con cuatro puntos, nos permiten avanzar en la definición proyectiva de sus elementos notables, diámetros, centro y ejes.
Una de las primeras nociones es la de “Direcciones conjugadas”
Hemos visto cómo determinar los puntos de intersección de una recta con una cónica definida por cinco puntos. Veremos a continuación el problema dual.
Este problema consiste en determinar los dos posibles rectas tangentes desde un punto a una cónica definida por cinco tangentes.
Hemos visto cómo determinar el eje de una involución y, a partir del concepto de polar de un punto respecto de dos rectas, las posibles involuciones que se pueden definir a partir de cuatro puntos, con sus respectivos ejes de involución, obteniendo el triángulo autopolar asociado en el que encontramos las relaciones armónicas del cuadrivértice completo.
En este artículo seguiremos profundizando en estos elementos, en particular en los vértices del triángulo autopolar que determinarán lo que conocemos como “Centro de Involución”.
Al relacionar proyectivamente mediante involuciones cuatro puntos de una cónica determinamos el eje de involución de estas proyectividades.
Dados los cuatro puntos necesarios para definir una involución, podemos plantearnos cúantas involuciones diferentes podemos establecer entre ellos.
El concepto de polaridad se encuentra ligado al de separación armónica.
Este concepto es básico para la determinación de los elementos fundamentales de las cónicas, como su centro, diámetros conjugados, ejes ….
Permitirá establecer nuevas transformaciones entre las que se incluyen homografías y correlaciones de gran importancia.
Una de las figuras geométricas más utilizadas en la geometría proyectiva es la del “Cuadrivértice Completo”, o su dual “Cuadrilátero Completo”.
De forma general, un cuadrivértice está formado por cuatro puntos, por lo que en el plano esta figura tiene 8 grados de libertad (2 coordenadas por cada vértice) y serán necesarias 8 restricciones para determinar uno concreto.
Los modelos teóricos de la geometría proyectiva se pueden utilizar proponiendo problemas que no sean de aplicación directa. Tendremos que “vestir” por lo tanto los ejercicios para inferir en el alumno un mayor análisis y un tratamiento transversal del conocimiento: ¿Puedo aplicar lo aprendido para resolver este problema?.
Tras analizar en detalle las operaciones con series superpuestas de segundo orden, vamos a ver un ejemplo de aplicación que no consiste en obtener nuevas tangentes o puntos de tangencia de una cónica.
Las transformaciones involutivas son aplicaciones biyectivas de gran interés para ser aplicadas en construcciones geométricas, ya que las simplifican notablemente.
Veremos cómo se define una involución en series de segundo orden, con base una cónica, comparándo el nuevo modelo de transformación con las series superpuestas de segundo orden estudiadas previamente.
En geometría hablamos con mucha frecuencia con términos que, en algunos casos, no están suficientemente popularizados en el lenguaje cotidiano. Ello lleva a crear barreras en la interpretación de algunos conceptos sencillos.
Uno de los términos que más veces me han preguntado en clase es el de “Involución”. Definamos la involución.
¿Qué es una involución?
Los conceptos proyectivos que hemos desarrollado al estudiar los haces superpuestos de segundo orden, cuya base es una cónica, permiten solucionar problemas de determinación de puntos de tangencia en las tangentes de una cónica definida mediante cinco tangentes o cinco restricciones mediante la combinación de tangentes y puntos con sus respectivas tangentes. Veremos la aplicación del Punto de Brianchon en este tipo de problemas
