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Geometría proyectiva: Circumference as a series of second order

circumferenceA circle is a conical axes are of equal length, hence we can say that the value of its eccentricity is zero (eccentricity = 0).

En matemática y geometría la eccentricity, e (épsilon) es un parámetro que determina el grado de desviación de una conic section con respecto a una circumference.(W)

We can treat circumference as one series of second order, obtained by the intersection of two beams of rays congruent counterparts (same but rotated.)

This treatment will be useful to use as a projective tool and resolve the determination of double elements in overlapping concentric series and do.

Projecting from any pair of points V1 and V2 of a circumference thereof points, two congruent beams are obtained, and therefore projective. Podemos comprobar, mediante los conceptos de arc able, que los ángulos en V1 y V2 determinados al proyectar dos puntos (A y B por ejemplo), son iguales ya que observan al mismo segmento desde un punto de la circunferencia.

circunferencia_proyectiva

El segmento AB se observa desde cualquier punto de la circunferencia bajo un mismo ángulo. Igualmente el resto de segmentos BC, CD… con valores distíntos del ángulo pero idénticos para todos los puntos de la circunferencia. Thus, los haces de vértices V1 y V2 son congruentes al ser iguales los respectivos ángulos entre rectas homólogas

Si determinamos la cuaterna de rayos (a1 b1 c1 d1) debe ser idéntica a (a2 b2 c2 d2) por ser iguales los respectivos ángulos. The double ratio of four straight conserved homologous, so are those projective bundles.

Definiremos la razón doble de los puntos de una serie de segundo orden como la que determina cualquier haz que los proyecte desde la base de la serie

Conservación de la razón

Esta definición nos permitirá transformar series de primer orden en series de segundo orden sobre una circunferencia auxiliar, simplificando la determinación de elementos homólogos en series superpuestas, así como la obtención de los correspondientes puntos dobles.

Projective Center

Podemos determinar el centro proyectivo de dos haces, con vértices sobre la circunferencia, que proyecten sus puntos.

El centro proyectivo de dos haces (congruent) se encuentra en la intersección de las tangentes en los vértices V1 y V2 a la circunferencia determinada por los puntos A, B, C… ( que a su vez son los puntos de intersección de cada par de rectas homólogas)

Centro_proyectivo_circunferencia

 

Relación entre series de primer y segundo orden

You can relate the elements of a series (ABC…) de primer orden y una serie de segundo orden mediante una proyección desde cualquier punto V de una circunferencia auxiliar. A cada punto de la serie de primer orden le asociaremos uno en la circunferencia, resultado de obtener la sección al rayo que lo proyecta desde el vértice. La razón doble de cuatro puntos de la serie rectilínea valdrá lo mismo que la de sus respectivo elementos homólogos en la serie circular.

Al punto impropio (del infinito) de la serie rectilínea le corresponderá igualmente un punto (L2) en la serie de segundo orden.

circunferencia_series_segundo_primer_orden

Again, the cross ratio remains

razon_doble_iguales

 

Projective Geometry

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