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Geometría proyectiva: Definición proyectiva de la cónica

Conica_elipseLas curvas cónicas, además del tratamiento métrico basado en las nociones de tangencia, tienen un tratamiento proyectivo que se apoya en los conceptos de series y haces proyectivos.

Veremos dos definiciones de las cónicas adaptadas al “mundo de los puntos” o al “mundo de las rectas” según nos interese, en lo que se define como las definiciones “puntuales” o “tangenciales” de las curvas cónicas.

La definición puntual o tangencial de la cónica nos permitirá su tratamiento proyectivo, aportando herramientas como el centro y eje proyectivo para la determinación de nuevos puntos y tangentes a la misma.

Series de segundo orden

Los puntos comunes a dos haces coplanarios de rectas, proyectivos entre sí, determinan una serie de puntos de segundo orden de base una curva denominada cónica proyectiva puntual.

A este conjunto de puntos le denominaremos “serie de segundo orden”, siendo la cónica la bese de esta nueva forma geométrica. (véase el paralelismo con la recta en la serie de primer orden)

conica_puntual

Dados dos haces de rectas proyectivos entre sí, de vértices V1 y V2, denominaremos curva cónica al lugar geométrico de puntos intersección de cada pareja de rayos homólogos (a1-a2) de estos haces.

Haces de segundo orden

Podemos hacer definiciones duales a partir del modelo puntual expuesto en el punto anterior.
Las rectas comunes a dos series coplanarios de rectas, proyectivos entre sí, determinan un haz de rectas de segundo orden de base una curva denominada cónica proyectiva tangencial.

A este conjunto de rectas que unen pares de puntos homólogos de dos series proyecticas le denominaremos “haz de segundo orden”. La cónica es la base de este haz, siendo los elementos las infinitas tangentes a esta base que podemos obtener.
conica_tangencial

 

Dadas dos series de puntos proyectivos entre sí, de bases r y s, denominaremos curva cónica al lugar geométrico envolvente de las rectas proyección (que contienen) de cada pareja de puntos homólogos (A1-A2) de estas series.

Geometría Proyectiva

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