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Categorías Tangencias

Las Cónicas como Lugar Geométrico de Centros de Circunferencias Tangentes

Hemos visto que el estudio de las cónicas se puede realizar desde diferentes enfoques geométricos. En particular, al iniciar el análisis de las cónicas hemos definido la elipse como lugar geométrico, decíamos que:

La Elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, denominados Focos, tiene un valor constante.

Esta definición métrica de esta importante curva nos permite abordar su estudio relacionándolo con el de las circunferencias tangentes, conocido como el “Problema de Apolonio” en alguna de sus versiones. Cuando abordemos el estudio de las parábola o de la hipérbola volveremos a replantear el problema para generalizar estos conceptos y reducir los problemas al “Problema fundamental de tangencias en el caso recta”, o el “Problema fundamental de tangencias en el caso circunferencia”, es decir, la determinación de una circunferencia de un “Haz corradical” con una condición de tangencia.

Cónicas : Elipse como lugar geométrico

El estudio de las cónicas se puede realizar desde diferentes enfoques geométricos. Uno de las análisis más usado es el que las determina a partir de secciones planas en un cono de revolución.

A partir de esta definición es posible inferir propiedades métricas de estas curvas, además de nuevas definiciones de las mismas.

Geometría proyectiva: Diámetros polares conjugados

Hemos visto la definición de diámetros polares conjugados, dada al analizar el concepto de direcciones conjugadas:

Diámetros polares conjugados: Son las polares de dos puntos impropios conjugados.
Vamos a ver cómo podemos relacionar este concepto con el de triángulo autopolar visto en las involuciones en series de segundo orden.

Geometría proyectiva: Intersección de recta y cónica

La definición proyectiva de la cónica permite empezar a resolver problemas clásicos de determinación de nuevos elementos de la cónica (nuevos puntos y tangentes en ellos), así como encontrar la intersección con una recta o la tangente desde un punto exterior. Estos problemas pueden resolverse por diferentes métodos más o menos complejos conceptualmente y con trazados más o menos laboriosos.

Veremos a continuación cómo determinar los dos posibles puntos de intersección de una recta con una cónica definida por cinco puntos.

Geometría proyectiva: Series superpuestas de segundo orden

Cuando la base de una serie es una cónica la serie es de segundo orden.

Igual que en el caso de series de primer orden cuando definíamos las series superpuestas, podemos establecer proyectividades entre dos series de segundo orden con la misma base (en este caso una cónica).

Geometría proyectiva: Definición proyectiva de la cónica

Las curvas cónicas, además del tratamiento métrico basado en las nociones de tangencia, tienen un tratamiento proyectivo que se apoya en los conceptos de series y haces proyectivos.

Veremos dos definiciones de las cónicas adaptadas al “mundo de los puntos” o al “mundo de las rectas” según nos interese, en lo que se define como las definiciones “puntuales” o “tangenciales” de las curvas cónicas.

Geometría métrica: Curvas : Cónicas

Entre las curvas más importantes que se estudian en geometría se encuentran las denominadas “Curvas cónicas”. Otra denominación común para estas curvas es la de “Secciones cónicas” debido a que la primera definición que se dio de ellas, por Apolonio de Perge, fue a partir de las secciones en un cono de revolución.

Elipses y Parábolas a nuestro alrededor [Alumnos]

ANTENA-PARABOLICA

Un tipo de trabajo recurrente en los blogs que han desarrollado mis alumnos ha consistido en la búsqueda e identificación de la geometría en todos los aspectos de su realidad cotidiana, dándose cuenta de la importancia de la misma.

Las curvas cónicas que se estudian en el apartado de geometría métrica tienen un alto interés en los estudios de ingeniería aeronáutica, ya que permiten describir las trayectorias de los cuerpos sometidos a las leyes gravitatorias. Sin embargo, como claramente destacan en sus trabajos, no son los únicos campos de aplicación. El breve artículo que sigue, realizado por el grupo de alumnos autodenominado “El laberinto del Ángulo” es una muestra de estas inquietudes de relación con lo cotidiano.