Geometría proyectiva: Series superpuestas de segundo orden

Cuando la base de una serie es una cónica la serie es de segundo orden.

Igual que en el caso de series de primer orden cuando definíamos las series superpuestas, podemos establecer proyectividades entre dos series de segundo orden con la misma base (en este caso una cónica).

El procedimiento de trabajo con estas series es análogo al que vimos al obtener elementos homólogos en las proyectividades entre dos series de primer orden, en las que determinábamos formas perspectivas intermedias (haces de rectas) determinando su eje perspectivo que denominábamos “eje proyectivo de las series“.

La proyectividad entre dos series superpuestas de segundo orden quedará determinada cuando conozcamos tres parejas de puntos homólogos situados sobre una misma cónica. (A-A’, B-B’, C-C’)

Hay que recordar que una cónica quedará determinada mediante cinco condiciones (puntos o rectas tangentes). Como comentario adicional, recordaremos que una recta queda determinada por dos de sus puntos, pero si queremos definir una proyectividad entre series superpuestas necesitaremos relacionar tres pares de puntos que pertenezcan a dicha recta.

En la figura, la proyectividad queda definida por las parejas de puntos homólogos A-A’, B-B’ y C-C’.

Si proyectamos desde dos puntos homólogos (por ejemplo el A y el A’) los elementos de cada serie se obtienen haces perspectivos ya que tienen un rayo doble (a-a’). Estos haces se cortarán en su eje perspectivo que será el “eje proyectivo de las series de segundo orden”. Esta recta se conoce con el sobrenombre de “Recta de Pascal“

Para determinar el elemento homólogo de un punto X cualquiera operaremos igual que con las series de primer orden. Proyectaremos el punto X desde un elemento (el A’) para obtener el rayo asociado a los haces perspectivos anteriores. El rayo del haz homólogo se cortará en el eje perspectivo de los haces (eje proyectivo de las series) y contendrá al punto X’ homólogo del X,

Los puntos de corte del eje proyectivo determinarán los elementos dobles de las series superpuestas de segundo orden. Para comprobarlo, obtendremos el homólogo de estos puntos considerándolos pertenecientes a cualquiera de las series, tal y como hemos realizado con el punto X anteriormente transformado. Se deja al lector la comprobación.

Hay que destacar que en este análisis se ha representado la cónica para mejorar la comprensión de los conceptos. Como la cónica no la tendremos en general, la obtención del elemento X’ homólogo del X deberá realizarse mediante la intersección de dos rectas repitiendo el procedimiento de proyección desde un nuevo vértice.

Sin embargo veremos que son de especial utilidad las series superpuestas cuando la cónica sea una circunferencia, ya que tienen el mismo tratamiento pero la curva si estará presente en nuestros trazados y podrá utilizarse.

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